二元配置分散分析（two-way ANOVA）は、2つの要因（因子）によって分類されたデータに対して、それぞれの要因の主効果（main effect）および両者の交互作用（interaction effect）を同時に検定する手法である。これは一元配置分散分析の自然な拡張であり、複数の要因が応答変数に与える影響を分離して評価することを目的とする。
本手法の本質は、観測データの総変動を「要因Aによる変動」「要因Bによる変動」「交互作用による変動」「誤差による変動」に分解し、それぞれの寄与を偏差平方和として定量化する点にある。
要因Aが $a$ 水準、要因Bが $b$ 水準を持ち、各組合せ $(i,j)$ において $n_{ij}$ 個の観測があるとする：
\[x_{ijk}, \quad i=1,\dots,a,\quad j=1,\dots,b,\quad k=1,\dots,n_{ij}\]総標本数は
\[N = \sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b} n_{ij}\]である。以下の平均を定義する：
\[\bar{x}_{ij} = \frac{1}{n_{ij}} \sum_{k=1}^{n_{ij}} x_{ijk}\]\[\bar{x}_{i\cdot} = \frac{1}{\sum_j n_{ij}} \sum_{j=1}^{b} \sum_{k=1}^{n_{ij}} x_{ijk}\]\[\bar{x}_{\cdot j} = \frac{1}{\sum_i n_{ij}} \sum_{i=1}^{a} \sum_{k=1}^{n_{ij}} x_{ijk}\]\[\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i,j,k} x_{ijk}\]二元配置分散分析は、以下の線形モデルで表される：
\[x_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + (\alpha\beta)_{ij} + \varepsilon_{ijk}\]ここで、
識別性のために以下の制約を課す：
\[\sum_i \alpha_i = 0,\quad \sum_j \beta_j = 0\]\[\sum_i (\alpha\beta)_{ij} = 0,\quad \sum_j (\alpha\beta)_{ij} = 0\]誤差項は独立同分布で
\[\varepsilon_{ijk} \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)\]と仮定する。
総平方和（SST）は
\[\mathrm{SST} = \sum_{i,j,k} (x_{ijk} - \bar{x})^2\]で定義され、以下のように分解される：
\[\mathrm{SST}= \mathrm{SSA} + \mathrm{SSB} + \mathrm{SSAB} + \mathrm{SSE}\]ここで、
要因Aの平方和：
\[\mathrm{SSA}= \sum_{i=1}^{a} n_{i\cdot} (\bar{x}_{i\cdot} - \bar{x})^2\]要因Bの平方和：
\[\mathrm{SSB}= \sum_{j=1}^{b} n_{\cdot j} (\bar{x}_{\cdot j} - \bar{x})^2\]交互作用平方和：
\[\mathrm{SSAB}= \sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b} n_{ij}(\bar{x}_{ij} - \bar{x}_{i\cdot} - \bar{x}_{\cdot j} + \bar{x})^2\]誤差平方和：
\[\mathrm{SSE}= \sum_{i,j,k} (x_{ijk} - \bar{x}_{ij})^2\]である。
この分解は、加法モデルからの逸脱（交互作用）を明示的に取り出す点に特徴がある。
総自由度は
\[N - 1 = (a-1) + (b-1) + (a-1)(b-1) + (N-ab)\]と分解される。
平均平方は
\[\mathrm{MSA} = \frac{\mathrm{SSA}}{a-1},\quad\mathrm{MSB} = \frac{\mathrm{SSB}}{b-1}\]\[\mathrm{MSAB} = \frac{\mathrm{SSAB}}{(a-1)(b-1)},\quad\mathrm{MSE} = \frac{\mathrm{SSE}}{N-ab}\]である。
それぞれの効果について以下のF統計量を定義する：
\[F_A = \frac{\mathrm{MSA}}{\mathrm{MSE}},\quad F_B = \frac{\mathrm{MSB}}{\mathrm{MSE}},\quad F_{AB} = \frac{\mathrm{MSAB}}{\mathrm{MSE}}\]帰無仮説はそれぞれ：
これらのもとで、各F統計量は対応する自由度を持つF分布に従う。
交互作用とは、「ある要因の効果が、他の要因の水準によって変化する」ことを意味する。すなわち、加法モデル
\[x_{ijk} \approx \mu + \alpha_i + \beta_j\]では説明できない構造を表す項である。
交互作用が有意である場合、主効果の単独解釈は一般に適切ではなく、要因の組合せごとの比較（単純主効果の解析）が必要となる。
観測ベクトル $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^N$ に対し、二元配置分散分析は以下の直交分解として理解できる：
\[\mathbf{x} = \mathbf{x}_{A} + \mathbf{x}_{B} + \mathbf{x}_{AB} + \mathbf{e}\]これに対応して、ノルムの分解
\[\|\mathbf{x} - \bar{x}\mathbf{1}\|^2= \|\mathbf{x}_A\|^2 + \|\mathbf{x}_B\|^2 + \|\mathbf{x}_{AB}\|^2 + \|\mathbf{e}\|^2\]が成立する。この直交性が平方和分解の基盤である。
二元配置分散分析は、2つの要因の主効果および交互作用を同時に評価する手法であり、総変動を4つの成分に分解することでその構造を明らかにする。線形モデルおよび直交射影として統一的に理解できる点において、統計的推論の中核的枠組みをなすものである。
Mathematics is the language with which God has written the universe.