多変量データ

例えば、ある人物について次のような情報が存在するとき、

身長・体重・年齢・血圧という複数の変数が同時に記録されており、このようなデータを多変量データという。

単変量データ（univariate data）・二変量データ（bivariate data）との対比を以下に示す。

多変量データの本質

多変量データの本質は、変数同士の関係性を同時に扱う点にある。

単変量データでは、平均・分散・ヒストグラムなど、1変数内部の性質しか扱えない。しかし多変量データでは、

• 身長が高い人は体重も重いか
• 年収と学歴は関係するか
• 気温と売上は連動するか

のような、変数間の依存関係・共変動・構造を扱うことができる。

多変量データの数学的表現

観測ベクトル

多変量データでは、各観測対象を列ベクトルとして表現する。\[\mathbf{x} = (x_1,\, x_2,\, \dots,\, x_p)^\top \in \mathbb{R}^p\]

• $\mathbf{x}$：1つの観測対象（$p$ 次元列ベクトル）
• $p$：変数の数（次元数）
• $x_i$：第 $i$ 番目の変数の値

例えば身長・体重・年齢・血圧の4変数の場合は、\[\mathbf{x} = (170,\; 65,\; 35,\; 120)^\top\]

は4次元ベクトルである。

データ行列

観測対象が $n$ 個存在する場合、多変量データは $n \times p$ のデータ行列として表現される。\[X = \begin{pmatrix}x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1p} \\x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2p} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{np}\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times p}\]

• $n$：観測数（サンプルサイズ）
• $p$：変数数（次元数）
• 第 $i$ 行 $(x_{i1},x_{i2},\cdots ,x_{ip})$：第 $i$ 番目の観測対象
• 第 $j$ 列 $(x_{1j},x_{2j},\cdots ,x_{nj})^\top$：第 $j$ 番目の変数

変数の種類と尺度

多変量データでは、変数の型（尺度）が分析手法の選択に直結するため極めて重要である。

数量変数と質的変数

尺度（Scale）の分類

スティーブンス（S. S. Stevens, 1946）の尺度分類が広く用いられる。

名義尺度（Nominal Scale）

対象を区別するだけの尺度。順序・差・比率の概念を持たない。

例：血液型、性別、国籍

順序尺度（Ordinal Scale）

順序のみが有意味。差は定義できない。

例：満足度評価、学年、ランク

間隔尺度（Interval Scale）

差に意味がある。ただし真のゼロが存在しないため比率は無意味。真のゼロが存在しないとは、数値の「0」が「全く存在しないこと（無）」を意味していない、ということ。摂氏0度は、単に「水が凍る点」という基準点にすぎない。0はあくまで人間が決めた、便宜上のスタート地点。

例：摂氏温度、西暦年

比率尺度（Ratio Scale）

真のゼロを持ち、差・比率ともに有意味。

例：長さ、重量、時間、年収

4尺度の比較

多変量データの取り扱い

python

import pandas as pd

df = pd.DataFrame({
    "age":    [20, 30, 40],
    "income": [300, 500, 800],
    "gender": pd.Categorical(["M", "F", "M"])
})

データの確認・前処理

df.info()                              # 型・メモリ情報
df.describe()                          # 基本統計量

df.isnull().sum()                      # 列ごとの欠損数
df.dropna()                            # 欠損行の除去
df.fillna(df.mean(numeric_only=True))  # 平均値補完

R

df <- data.frame(
  age    = c(20, 30, 40),
  income = c(300, 500, 800),
  gender = factor(c("M", "F", "M"))
)

データの確認・前処理

str(df)        # 構造確認（型・次元）
summary(df)    # 基本統計量

is.na(df)      # 欠損値の位置確認
na.omit(df)    # 欠損行の除去

scale(df[, c("age","income")])  # 数値列のみ標準化

Mathematics is the language with which God has written the universe.