Definition：
母集団から抽出された $n$ 個の独立な確率変数（または観測値）の集合を $X_1, X_2, \dots, X_n$ とするとき,標本平均は
\[\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\]
で定義される。
「平均」とは、複数の値を足し合わせて、個数で割ったもの。
たとえば、テストの点数が 60, 70, 80 の3人がいたとき：\[\text{平均} = \frac{60 + 70 + 80}{3} = \frac{210}{3} = 70 \]
これは直感的に「みんなの真ん中あたりの値」を表している。
統計学では、次の2つを区別する。
| 用語 | 意味 | 例 |
|---|---|---|
| 母集団（ぼしゅうだん） | 調べたい対象全体 | 日本国民全員の身長 |
| 標本（ひょうほん） | 母集団から一部を取り出したもの | 1000人をランダムに選んで測った身長 |
日本国民全員（約1億2千万人）の身長を全部測るのは現実的ではない。そのため、一部を取り出して調べる訳である。
取り出した標本の平均のことを標本平均という。\[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i \]
1000人の身長を測ったところ：
\[ \bar{x} = \frac{170 + 165 + 172 + \cdots}{1000} = 168.5 \text{ cm}\]これが標本平均。
目的は「母集団の真の平均（母平均）を推測すること」。
母平均 $\mu$（ミュー）は直接知ることができないので、標本平均 $\bar{x}$ で代用・推測する。
一度だけ計算した標本平均 $\bar{x}$ は、標本の取り方によって値が変わる。しかし、同じ大きさの標本を何度も取り直してそのたびに $\bar{x}$ を計算し、それらを平均すると、その値は母平均 $\mu$ に一致する。
\[ E[\bar{x}] = \mu \]ここで $E[\bar{x}]$ は、「標本平均を何度も計算したときの平均」を表す。この性質を不偏性といい、標本平均は母平均を偏りなく推定する量であることを意味する。
標本の数 $n$ を増やすほど、標本平均は母平均に近づく（大数の法則）。
Input: Random variable samples $\{x_1, x_2, \dots, x_n\}$
$S = 0$;
for $i = 1$ to $n$ do
$S = S + x_i$;
end for
$\bar{x} = \frac{S}{n}$; // Sample mean
Output: Sample mean $\bar{x}$
Mathematics is the language with which God has written the universe.