標本平均および標本分散の分布は、推測統計の理論的基盤をなす重要な概念である。特に正規母集団のもとでは、これらの統計量は厳密な分布を持ち、t分布やχ²分布との関係が明らかになる。
確率変数列 $X_1, X_2, \dots, X_n$ が独立同分布であり、
\[X_i \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\]
に従うとする。
標本平均は
\[\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\]
で定義される。
正規分布の線形性より、
\[\bar{X} \sim \mathcal{N}\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)\]
が成立する。
\[Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1)\]
標本分散は
\[S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2\]
で定義される。
次の重要な結果が成立する。
\[\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)\]
すなわち、標本分散はχ²分布に従う量に比例する。
正規母集団の場合、標本平均と標本分散は独立である：
\[\bar{X} \perp S^2\]
この性質は正規分布に特有であり、他の分布では一般に成立しない。
母分散 $\sigma^2$ が未知の場合、標準化の代わりに標本分散を用いると、
\[T = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}\]
は自由度 $n-1$ のt分布に従う：
\[T \sim t(n-1)\]
母集団が正規分布でない場合でも、中心極限定理により、標本平均は大標本で近似的に正規分布に従う：
\[\bar{X} \approx \mathcal{N}\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)\]
ただし、標本分散の厳密な分布や独立性は一般には成立しない。
標本平均は正規母集団に対して正規分布に従い、標本分散はχ²分布に関連する分布を持つ。また、両者の独立性からt分布が導かれる。これらの結果は統計的推測の基盤を構成する。
Mathematics is the language with which God has written the universe.