確率の公理と性質

確率論は、測度論に基づく厳密な数学体系として定式化される。その基礎を与えるのがコルモゴロフによる確率の公理である。この公理系により、確率は集合関数として定義され、その性質はすべて公理から演繹的に導かれる。

確率空間の再確認

確率論は三つ組

\[(\Omega, \mathcal{F}, P)\]

によって定義される。ここで、

• $\Omega$：標本空間
• $\mathcal{F}$：σ-加法族（事象の集合）
• $P$：確率測度

である。

コルモゴロフの公理

確率測度 $P : \mathcal{F} \to [0,1]$ は、次の三つの公理を満たす。

第1公理（非負性）

任意の事象 $A \in \mathcal{F}$ に対して、

\[P(A) \geq 0\]

第2公理（正規化）

標本空間全体の確率は1である：

\[P(\Omega) = 1\]

第3公理（可算加法性）

互いに排反な事象列 $\{A_i\}_{i=1}^{\infty}$ に対して、

\[A_i \cap A_j = \emptyset \ (i \neq j) \Rightarrow P\left( \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)\]

が成り立つ。

基本的性質

これらの公理から、多くの重要な性質が導かれる。

空集合の確率

\[P(\emptyset) = 0\]

これは、可算加法性において空集合を用いることで導かれる。

単調性

もし $A \subseteq B$ ならば、

\[P(A) \leq P(B)\]

補集合の確率

\[P(A^c) = 1 - P(A)\]

加法公式

任意の二つの事象 $A, B$ に対して、

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

連続性

確率測度は極限操作に関して連続性を持つ。

下からの連続性

単調増加列 $A_1 \subseteq A_2 \subseteq \cdots$ に対して、

\[P\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) = \lim_{n \to \infty} P(A_n)\]

上からの連続性

単調減少列 $A_1 \supseteq A_2 \supseteq \cdots$ かつ $P(A_1) < \infty$ に対して、

\[P\left( \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \right) = \lim_{n \to \infty} P(A_n)\]

劣加法性（Booleの不等式）

任意の事象列 $\{A_i\}$ に対して、

\[P\left( \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right) \leq \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)\]

が成り立つ。これは可算加法性の拡張である。

有限加法性

互いに排反な有限個の事象 $A_1, \dots, A_n$ に対して、

\[P\left( \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)\]

が成立する。

包含排除原理

三つの事象に対しては、

\[\begin{aligned}P(A \cup B \cup C) &= P(A) + P(B) + P(C) \\&\quad - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) \\&\quad + P(A \cap B \cap C)\end{aligned}\]

が成り立つ。

まとめ

確率の公理は、確率を測度として厳密に定義するための最小限の仮定であり、そこから単調性、加法性、連続性などの基本的性質が導かれる。この公理体系により、確率論は解析学と整合的な形で展開され、統計学および確率過程論の基盤を形成する。

Mathematics is the language with which God has written the universe.