一様分布

確率密度関数 $f_X(x)$ は,\[f_X(x) =\begin{cases}\dfrac{1}{b-a}, & a \le x \le b \\0, & x < a \text{ または } x > b\end{cases}\]であるため,区間 $[a,b]$ では $\dfrac{1}{b-a} > 0$ であり,それ以外の範囲では $f_X(x) = 1$ であることを確認する.\[\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) \, dx= \int_{-\infty}^{a} 0 \, dx + \int_{a}^{b} \frac{1}{b-a} \, dx + \int_{b}^{\infty} 0 \, dx= \int_{a}^{b} \frac{1}{b-a} \, dx= \frac{1}{b-a} \cdot (b-a) = 1\]以上より,$f_X(x)$ は確率密度関数の定義を完全に満たす.

期待値と分散

期待値

確率変数 $X$ の期待値 $E[X]$ は定義により,\[E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) \, dx\]

一様分布とは,確率変数 $X$ が区間 $[a,b]$ 内で取り得る値が全て等しい確率で生じる分布である.この場合の確率密度関数 $f_X(x)$ は\[f_X(x) =\begin{cases}\dfrac{1}{b-a}, & a \le x \le b \\0, & \text{それ以外}\end{cases}\]である.従って,期待値 $E[X]$ は, \[E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) \, dx= \int_{a}^{b} x \cdot \frac{1}{b-a} \, dx= \frac{1}{b-a} \int_a^b x \, dx= \frac{1}{b-a} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_a^b= \frac{b^2 - a^2}{2(b-a)}= \frac{a+b}{2}\]

分散

分散 $\mathrm{Var}(X)$ は定義により\[\mathrm{Var}(X) = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2\]である.まず $E[X^2]$ を求める.\[E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f_X(x) \, dx= \int_a^b x^2 \cdot \frac{1}{b-a} \, dx= \frac{1}{b-a} \int_a^b x^2 \, dx= \frac{1}{b-a} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_a^b= \frac{b^3 - a^3}{3(b-a)}= \frac{a^2 + ab + b^2}{3}\]従って,\[\mathrm{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2= \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \left( \frac{a+b}{2} \right)^2= \frac{(b-a)^2}{12}\]

Mathematics is the language with which God has written the universe.