Theorem：Maclaurin expansion of the exponential function
任意の $x \in \mathbb{R}$ （または $z \in \mathbb{C}$）に対して, 指数関数 $e^{x}$ は次の無限級数展開を持つ.\[e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}.\]この級数の収束半径は無限大であり,よって級数は実数軸全体および複素平面全体で絶対収束する.
さらに剰余項は,\[R_{n}(x) = \frac{1}{n!}\int_{0}^{x}(x-t)^{n} e^{t}\,dt\quad \text{or} \quad R_{n}(x) = \frac{e^{\xi}}{(n+1)!}x^{\,n+1}\quad (\exists\,\xi \in (0,x))\]と表され,$n \to \infty$ のとき $R_{n}(x) \to 0$ が成り立つ.
関数 $f(x)=e^x$ を考える.まず一般のテイラー剰余[積分表示]を導き, それを指数関数に適用してマクローリン展開を得る.関数 $f$ が十分回微分可能であるとする.任意の自然数 $n$ に対して次の反復積分の恒等式が成り立つことを示す.任意の連続関数 $g$ について\[\int_0^x \int_0^{t_n} \cdots \int_0^{t_2} g(t_1)\, dt_1 dt_2 \cdots dt_n= \frac{1}{(n-1)!} \int_0^x (x-t)^{\,n-1} g(t)\, dt.\]この等式は帰納法で示せる.$n=1$ のときは自明である（左辺は $\int_0^x g(t)\,dt$ である）.$n$ に対して成り立つと仮定し, $n+1$ の場合を考えると左辺は\[\int_0^x \Biggl( \int_0^{t_{n+1}} \int_0^{t_n} \cdots \int_0^{t_2} g(t_1)\, dt_1 \cdots dt_n \Biggr) dt_{n+1}= \int_0^x \frac{1}{(n-1)!} \int_0^{t_{n+1}} (t_{n+1}-t)^{\,n-1} g(t)\, dt \, dt_{n+1}.\]積分の順序を入れ替えると\[\frac{1}{(n-1)!} \int_0^x \Biggl( \int_t^x (t_{n+1}-t)^{\,n-1} dt_{n+1} \Biggr) g(t)\, dt= \frac{1}{(n-1)!} \int_0^x \frac{(x-t)^n}{n} g(t)\, dt= \frac{1}{n!} \int_0^x (x-t)^n g(t)\, dt.\]よって帰納が完了する.これが反復積分と単一積分の関係である.次に $f$ が $C^{n+1}$ 級であるとき, $f$ を $0$ の周りで $n$ 回まで逐次展開することで積分剰余表示が得られる.まず\[f(x) = f(0) + \int_0^x f'(t_1)\, dt_1.\]ここで\[f'(t_1) = f'(0) + \int_0^{t_1} f''(t_2)\, dt_2\]を代入すると\[f(x) = f(0) + f'(0)x + \int_0^x \int_0^{t_1} f''(t_2)\, dt_2 \, dt_1.\]同様に $f''(t_2)$ を展開する操作を繰り返し, $n$ 回の代入の後に\[f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k+ \int_0^x \int_0^{t_n} \cdots \int_0^{t_2} f^{(n+1)}(t_1)\, dt_1 \cdots dt_n\]が得られる.上で示した反復積分の恒等式を用いると, 剰余項は\[R_n(x) = \frac{1}{n!} \int_0^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t)\, dt\]と表される.これがテイラー[マクローリン]剰余の積分表示である.
これを $f(x)=e^x$ に適用する.任意の $k \geq 0$ に対して $f^{(k)}(x)=e^x$ なので $f^{(k)}(0)=1$ であり, したがって $n$ 次までのテイラー多項式は\[\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\]である.また剰余は\[R_n(x) = \frac{1}{n!} \int_0^x (x-t)^n e^t \, dt.\]剰余が零に収束することを示す.任意の実数 $x$ に対して\[|R_n(x)| \leq \frac{1}{n!} \int_0^{|x|} (|x|-t)^n e^t \, dt\leq \frac{e^{|x|}}{n!} \int_0^{|x|} (|x|-t)^n \, dt= \frac{e^{|x|}}{n!} \cdot \frac{|x|^{\,n+1}}{n+1}= \frac{e^{|x|}}{(n+1)!} |x|^{\,n+1}.\]ここで右辺は $n \to \infty$ で $0$ に収束する.したがって\[e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}\]が成立する.さらに剰余のラグランジュ形も得られる.
平均値の定理によりある $\xi$ が $0$ と $x$ の間に存在して\[R_n(x) = \frac{e^\xi}{(n+1)!} x^{\,n+1}\]が成り立つ.
Mathematics is the language with which God has written the universe.