確率母関数

定義：Probability Generating Function, PGF

離散型確率変数

$X$ の確率母関数

$G_X(t)$ は以下のように定義される.

G_{X} (t) = E [t^{X}] = \sum_{x = 0}^{\infty} t^{x} P (X = x)

ここで,

である.

確率母関数は離散確率分布に対して定義される概念である.連続確率分布に対しては,モーメント母関数がより一般的に使用される.

確率母関数の主な性質

$G_X(1) = 1$ （全確率の和が1であることを反映）
$G_X(0) = P(X=0)$ （確率変数が0をとる確率）
確率母関数の $n$ 次導関数を $t=0$ で評価すると, $X$ の $n$ 次の階乗モーメント[factorial moment]が得られる. $G_{X}^{(n)} (0) = E [X (X - 1) \dots (X - n + 1)]$ 特に,期待値と分散は以下のように計算できる. $\begin{aligned} E [X] & = G_{X}^{'} (1) \\ V a r (X) & = G_{X}^{″} (1) + G_{X}^{'} (1) - [G_{X}^{'} (1)]^{2} \end{aligned}$
独立な確率変数 $X$ と $Y$ の和 $Z = X + Y$ の確率母関数は,個々の確率母関数の積となる. $G_{Z} (t) = G_{X} (t) \cdot G_{Y} (t)$

Mathematics is the language with which God has written the universe.