関数空間

$d \geq 1$ として, $\mathbb{R}^{d}$ を $d$ 次元ユークリッド空間とする.また, $E$ を $\mathbb{R}^{d}$ のルベーグ可測関数とする.
このとき, $1 \leq p \leq \infty$ に対し, $E$ 上の複素数値可測関数 $f(x)$ のうち, $$\int_{E}|f(x)|^{p}dx < \infty$$ を満たすもの全体のつくる集合を, $$L^{p}=L^{p}(E)$$ と表し,関数空間 $L^{p}$ という.