ラプラス変換

ラプラス変換[Laplace transform]

ある関数 $f(t)$ のラプラス変換 $F(s)$ は、次のように定義されます.\[ F(s) \equiv \mathcal{L}[f(t)]=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt\]

ラプラス変換する前の元の関数 $f(t)$ を表関数（もしくは、原関数 [original function]）、ラプラス変換後の関数 $F(s)$ を裏関数（もしくは、像関数[image function]）といいます.

ラプラス変換はフーリエ変換を発展させたもので、ピエール＝シモン・ラプラス[Pierre-Simon Laplace,1749/03/23-1827/03/05]に由来します.オリヴァー・ヘヴィサイド[Oliver Heaviside,1850/05/18-1925/02/03]が回路方程式を解くための実用的な演算子として編み出したものですが、後に、数学的な基礎付けはラプラスによってなされていたことが明らかになっています.

なお、ラプラス変換の定義式の右辺はラプラス積分[Laplace integral]と言われ、時間領域から複素平面への写像となっています.

ラプラス変換を用いた微分方程式の解き方

  1. 関数 $f(t)$ を含む微分方程式をラプラス変換し、微分を含まない $F(s)$ の方程式を得る.
  2. 方程式を $F(s)$ について解く.
  3. 求めた $F(s)$ を逆ラプラス変換して $f(t)$ を求める.

ラプラス変換によって微分方程式が四則演算で解けてしまうというメリットがあります.


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