オイラーの公式

証明

$e$ , $\cos$ , $\sin$ の冪級数展開[power series expansion]は以下のようになる.\[\begin{eqnarray}e^{x}&=&1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots,\\\cos x&=&1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots\\\sin x&=&x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots \end{eqnarray}\]

ここで,$e^{ix}$の冪級数展開をすると,\[e^{ix}=1+ix+\frac{(ix)^{2}}{2!}+\frac{(ix)^{3}}{3!}+\frac{(ix)^{4}}{4!}+\frac{(ix)^{5}}{5!}+\cdots \]となる.

この式を整理すると,\[e^{ix}=\left(1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots\right)+i\left(x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots\right) \]となる.

以上より,\[e^{i x}=\cos x + i \sin x\]◼️

オイラーの等式

$\cos \pi = -1$ , $\sin \pi = 0$ であるので,$\theta = \pi$ とするとオイラーの等式となる.

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