累積分布関数

累積分布関数（cumulative distribution function, CDF）は、確率変数の分布を特徴づける基本的な関数であり、確率測度を実数直線上に写像する役割を担う。離散型・連続型を問わず、すべての確率変数に対して定義される点において極めて一般的な概念である。

定義

確率空間 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 上の確率変数 $X : \Omega \to \mathbb{R}$ に対して、累積分布関数 $F_X : \mathbb{R} \to [0,1]$ を

\[F_X(x) = P(X \leq x)\]

によって定義する。

基本性質

累積分布関数は以下の性質を満たす。

• 単調非減少性： \[ x \leq y \Rightarrow F_X(x) \leq F_X(y) \]
• 右連続性： \[ \lim_{h \downarrow 0} F_X(x+h) = F_X(x) \]
• 極限値： \[ \lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0, \quad \lim_{x \to \infty} F_X(x) = 1 \]

確率との関係

任意の実数 $a < b$ に対して、

\[P(a < X \leq b) = F_X(b) - F_X(a)\]

が成立する。また、

\[P(X = x) = F_X(x) - \lim_{t \uparrow x} F_X(t)\]

であり、不連続点におけるジャンプの大きさがその点の確率に対応する。

離散型の場合

離散型確率変数に対しては、

\[F_X(x) = \sum_{t \leq x} P(X = t)\]

となり、累積分布関数は階段関数となる。

連続型の場合

確率密度関数 $f(x)$ が存在する場合、

\[F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt\]

が成立し、ほとんど至る所で

\[f(x) = \frac{d}{dx} F_X(x)\]

が成り立つ。

一般分布（混合型）

一般の確率変数は、離散部分と連続部分の両方を含む場合がある。このとき累積分布関数は、階段関数的なジャンプと連続的な部分の両方を持つ。

すなわち、

\[F_X(x) = F_{\text{disc}}(x) + F_{\text{cont}}(x)\]

のように分解される。

分布の一意性

累積分布関数は確率分布を一意に定める。すなわち、二つの確率変数 $X, Y$ に対して

\[F_X(x) = F_Y(x) \quad \forall x\]

が成り立つとき、両者は同一の分布に従う。

収束との関係

確率変数列 $X_n$ が分布収束するとは、

\[F_{X_n}(x) \to F_X(x)\]

が、$F_X$ の連続点において成立することをいう。

まとめ

累積分布関数は、確率分布を統一的に表現する関数であり、離散型・連続型を問わず適用可能である。その単調性、右連続性、極限挙動といった性質は、確率測度の基本的特徴を反映している。この関数を通じて、確率分布の解析や極限定理の定式化が可能となる。

Mathematics is the language with which God has written the universe.