期待値は確率変数の平均的な値を表す量であり、確率分布に関する最も基本的な統計量である。その定義は測度論に基づき、ルベーグ積分として与えられる。
確率空間 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 上の確率変数 $X$ に対して、期待値は
\[\mathbb{E}[X] = \int_{\Omega} X(\omega)\, dP(\omega)\]
によって定義される。ただし、この積分が有限であるときに限り、期待値が存在すると言う。
確率質量関数 $p(x) = P(X=x)$ を用いると、
\[\mathbb{E}[X] = \sum_{x} x\,p(x)\]
と表される。
確率密度関数 $f(x)$ を用いると、
\[\mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx\]
となる。
確率変数 $X$ と可測関数 $g$ に対して、$g(X)$ の期待値は
\[\mathbb{E}[g(X)] =\begin{cases}\sum_x g(x)\,p(x) & \text{（離散型）} \\\int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x)\,dx & \text{（連続型）}\end{cases}\]
で与えられる。これはLOTUS（Law of the Unconscious Statistician）と呼ばれる。
任意の確率変数 $X, Y$ と定数 $a, b$ に対して、
\[\mathbb{E}[aX + bY] = a\mathbb{E}[X] + b\mathbb{E}[Y]\]
が成立する。
もし $X \leq Y$ がほとんど確実に成り立つならば、
\[\mathbb{E}[X] \leq \mathbb{E}[Y]\]
$X \geq 0$ ならば、
\[\mathbb{E}[X] \geq 0\]
定数 $c$ に対して、
\[\mathbb{E}[c] = c\]
確率変数 $X, Y$ が独立である場合、
\[\mathbb{E}[XY] = \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]\]
が成立する。
凸関数 $\varphi$ に対して、
\[\varphi(\mathbb{E}[X]) \leq \mathbb{E}[\varphi(X)]\]
$X \geq 0$, $a > 0$ に対して、
\[P(X \geq a) \leq \frac{\mathbb{E}[X]}{a}\]
\[P(|X - \mu| \geq \varepsilon) \leq \frac{\mathrm{Var}(X)}{\varepsilon^2}\]
期待値は極限操作と密接に関係する。
非負関数列 $X_n \uparrow X$ に対して、
\[\lim_{n\to\infty} \mathbb{E}[X_n] = \mathbb{E}[X]\]
$X_n \to X$ かつ $|X_n| \leq Y$, $\mathbb{E}[Y] < \infty$ のとき、
\[\lim_{n\to\infty} \mathbb{E}[X_n] = \mathbb{E}[X]\]
期待値は確率変数の平均的挙動を表す基本量であり、測度論的にはルベーグ積分として定義される。その線形性や単調性といった基本性質に加え、不等式や収束定理を通じて、確率論・統計学の理論展開において中心的な役割を果たす。
Mathematics is the language with which God has written the universe.