t分布・χ²分布・F分布

t分布、χ²分布、F分布は、正規分布に基づく統計的推測において中心的な役割を果たす連続型確率分布である。これらは標本分布として現れ、仮説検定や区間推定の理論的基盤を構成する。

χ²分布（カイ二乗分布）

定義

独立な標準正規分布に従う確率変数 $Z_1, \dots, Z_k \sim \mathcal{N}(0,1)$ に対して、

\[X = \sum_{i=1}^{k} Z_i^2\]

とすると、$X$ は自由度 $k$ のχ²分布に従う。

確率密度関数

\[f(x) =\begin{cases}\frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2} & (x \geq 0) \\0 & (x < 0)\end{cases}\]

期待値と分散

\[\mathbb{E}[X] = k, \quad \mathrm{Var}(X) = 2k\]

性質

• ガンマ分布との関係：$\chi^2(k) = \mathrm{Gamma}(k/2, 1/2)$
• 加法性：独立な χ²分布の和は再び χ²分布に従う

t分布（スチューデントのt分布）

定義

標準正規分布に従う確率変数 $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ と、独立な χ²分布 $V \sim \chi^2(\nu)$ に対して、

\[T = \frac{Z}{\sqrt{V/\nu}}\]

とすると、$T$ は自由度 $\nu$ のt分布に従う。

確率密度関数

\[f(t) = \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1 + \frac{t^2}{\nu}\right)^{-(\nu+1)/2}\]

期待値と分散

\[\mathbb{E}[T] = 0 \quad (\nu > 1), \quad\mathrm{Var}(T) = \frac{\nu}{\nu - 2} \quad (\nu > 2)\]

性質

• 平均は0で対称
• 裾が正規分布よりも厚い（外れ値に対して頑健）
• $\nu \to \infty$ で正規分布に収束

F分布

定義

独立な χ²分布 $U \sim \chi^2(d_1)$, $V \sim \chi^2(d_2)$ に対して、

\[F = \frac{(U/d_1)}{(V/d_2)}\]

とすると、$F$ は自由度 $(d_1, d_2)$ のF分布に従う。

確率密度関数

\[f(x) = \frac{1}{B\left(\frac{d_1}{2}, \frac{d_2}{2}\right)}\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^{d_1/2}x^{d_1/2 - 1}\left(1 + \frac{d_1}{d_2}x\right)^{-(d_1 + d_2)/2}\]

期待値と分散

\[\mathbb{E}[F] = \frac{d_2}{d_2 - 2} \quad (d_2 > 2)\]

\[\mathrm{Var}(F) = \frac{2 d_2^2 (d_1 + d_2 - 2)}{d_1 (d_2 - 2)^2 (d_2 - 4)} \quad (d_2 > 4)\]

相互関係

これらの分布はすべて正規分布から導かれる。

• χ²分布：正規分布の二乗和
• t分布：正規分布とχ²分布の比
• F分布：2つのχ²分布の比

統計的推論における役割

• χ²分布：分散の推定、適合度検定、独立性検定
• t分布：平均の検定（特に標本サイズが小さい場合）
• F分布：分散分析（ANOVA）、回帰モデルの検定

まとめ

t分布、χ²分布、F分布は、正規分布に基づく統計理論の中核をなす分布であり、それぞれが異なる形で標本のばらつきや比率を表現する。これらは仮説検定や区間推定において不可欠な役割を果たす。

Mathematics is the language with which God has written the universe.