確率収束と分布収束は、確率変数列の極限挙動を記述するための基本概念であり、漸近理論の基礎をなす。これらは収束の強さに関して異なる概念であり、統計的推測において重要な役割を果たす。
確率変数列 $X_n$ が確率変数 $X$ に確率収束するとは、任意の $\varepsilon > 0$ に対して
\[P(|X_n - X| > \varepsilon) \to 0 \quad (n \to \infty)\]
が成立することをいう。このとき、
\[X_n \xrightarrow{P} X\]
と書く。
確率収束は、「$X_n$ が確率1に近い意味で $X$ に近づく」ことを意味する。すなわち、大きなずれが生じる確率が消失する。
確率変数列 $X_n$ が確率変数 $X$ に分布収束するとは、累積分布関数 $F_n(x) = P(X_n \leq x)$ が、$X$ の累積分布関数 $F(x)$ に対して、
\[F_n(x) \to F(x)\]
が、$F$ の連続点において成立することをいう。このとき、
\[X_n \Rightarrow X\]
と書く。
分布収束は特性関数によっても特徴付けられる。すなわち、
\[\varphi_{X_n}(t) \to \varphi_X(t)\]
がすべての $t$ に対して成立すれば、$X_n \Rightarrow X$ である。
分布収束は、「確率分布の形状が極限分布に近づく」ことを意味する。ただし、個々の確率変数の値が収束するとは限らない。
確率収束と分布収束の間には次の関係がある。
$X_n \sim \mathcal{N}(0, 1/n)$ とすると、
\[X_n \Rightarrow 0\]
であるが、確率収束も成立する。一方、分布収束のみが成立し、確率収束が成立しない例も存在する。
$X_n \Rightarrow X$, $Y_n \xrightarrow{P} c$ に対して、
\[X_n + Y_n \Rightarrow X + c, \quad X_n Y_n \Rightarrow cX\]
が成立する。
など、漸近理論の基盤として広く用いられる。
確率収束は個々の確率変数の値の収束を意味し、分布収束は分布の形の収束を意味する。確率収束は分布収束よりも強い概念であり、両者の違いを理解することは統計的推論において重要である。
Mathematics is the language with which God has written the universe.