正規母集団における仮説検定では、母平均に関する検定としてz検定およびt検定が基本となる。これらは標本平均の分布に基づき、母平均に関する仮説の妥当性を評価する手法である。
独立同分布な標本
\[X_1, X_2, \dots, X_n \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\]
を考え、母平均 $\mu$ に関する仮説
\[H_0 : \mu = \mu_0\]
を検定する。
母分散 $\sigma^2$ が既知の場合、検定統計量は
\[Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}\]
であり、
\[Z \sim \mathcal{N}(0,1)\]
が成立する。
両側検定では、
\[|Z| > z_{\alpha/2}\]
のとき帰無仮説を棄却する。
母分散が未知の場合、標本分散 $S^2$ を用いて
\[T = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}\]
を定義する。
このとき、
\[T \sim t(n-1)\]
が成立する。
両側検定では、
\[|T| > t_{\alpha/2,\,n-1}\]
のとき帰無仮説を棄却する。
対立仮説が
\[H_1 : \mu > \mu_0 \quad または \quad H_1 : \mu < \mu_0\]
である場合、棄却域は片側に設定される。
観測された統計量に基づいて、帰無仮説のもとでの確率
\[p = P(|Z| \geq |z_{\text{obs}}|)\quad または \quad p = P(|T| \geq |t_{\text{obs}}|)\]
を計算し、有意水準と比較する。
正規母集団における検定では、分散既知の場合はz検定、未知の場合はt検定が用いられる。標本平均の分布に基づいて検定統計量を構成し、棄却域またはp値により意思決定を行う。
Mathematics is the language with which God has written the universe.