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ガンマ関数$\Gamma(n)$と階乗

ガンマ関数$\Gamma(n)$は階乗の概念を一般化した特殊関数となっている．すなわち，$n$を自然数，$s=n-1$として， $$\Gamma(n)=(n-1)\Gamma(n-1)$$ となるから，この関係式を繰り返して用いると， $$\begin{eqnarray}\Gamma(n)&=&(n-1)(n-2)\Gamma(n-2)\\&=&\cdots\\&=&(n-1)!\Gamma(1)\end{eqnarray}$$ となる．

ここで， $$\Gamma(1)=\int^{\infty}_{0}e^{-x}dx=[-e^{-x}]^{\infty}_{0}=1$$ であるから， $$\Gamma(n)=(n-1)!\Gamma(1)=(n-1)!$$ という関係が成立する．

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