二項分布[binominal distribution]*の確率密度関数は,\[P_{k}=P(X=k)=_{n}C_{k}p^{k}q^{n-k},(k=0,1,2,\cdots,n),0 < p < 1,p+q=1\]と表される.
一方,ポアソン分布[Poisson distribution]*の確率密度関数は,\[P_{O}(x):=e^{-\mu}\frac{\mu^{x}}{x!}\]と表される.
ここで,\[\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e,\lim_{x\to\infty}(1-\frac{1}{x})^{x}=e\]であることに留意すると,サンプルサイズ $n$,パラメータ[生起確率] $p$ の二項分布 $B(n,p)$ について, $np=\mu$ として,\[\begin{eqnarray}_{n}C_{k}p^{k}q^{n-k}&=&_{n}C_{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&=&_{n}C_{k}(\frac{\mu}{n})^{k}(1-\frac{\mu}{n})^{n-k}\\&=&\frac{n!}{n^{k}(n-k)!}(\frac{\mu}{n})^{k}(1-\frac{\mu}{n})^{n-k}\\&=&\frac{n!}{n^{k}(n-k)!}(\frac{\mu}{n})^{k}(1-\frac{\mu}{n})^{n}(1-\frac{\mu}{n})^{-k} \end{eqnarray}\]先ほどの留意するとした数式で $x$ となっていたところを $\frac{n}{\mu}$ に置き換えると,\[\lim_{n\to\infty}(1-\frac{\mu}{n})^{n}=\lim_{n\to\infty}(1-\frac{\mu}{n})^{-\frac{n}{\mu} \times (-\mu)}=e^{-\mu}\]となる.
また,\[\lim_{n\to\infty}(1-\frac{\mu}{n})^{k}=1\]となることと,\[\begin{eqnarray}\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^{k}(n-k)!}&=&\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{k}} \times n \times (n-1) \cdots \times (n-(x-1))\\&=&\lim_{n\to\infty}(\frac{n}{n})(\frac{n-1}{n})\cdots(\frac{n-(x+1)}{n})\\&=&\lim_{n\to\infty}(\frac{n}{n})(1-\frac{1}{n})\cdots(1-\frac{x-1}{n})\\&=&1\end{eqnarray}\]となることを用いると,\[_{n}C_{k}p^{k}q^{n-k}\simeq\frac{\mu^{k}}{k!}e^{\mu}\]となる.これは $\mu$ を一定にしたままで $n$ を大きくしていくと二項分布がポアソン分布へと近づいていくことを示している.
Mathematics is the language with which God has written the universe.