亜群

群の一般化には,モノイド[monoid]亜群[groupoid]の2つの方向があります.そして,両方向に一般化したものとして圏[category]があります.

群の公理から逆元の存在をはずしたものがモノイド[monoid]になります.

そして,集合が複数ある場合に拡張したものが亜群[groupoid]になります.

同値関係[equivalence relation]

区別されて認識された対象どうしを同一視できる関係,つまり,図形の合同[congruence]相似[similarity]同値関係[equivalence relation]といわれます.

【公理】同値関係[equivalence relation]

2つの対象 $x,y$の間の関係$x \sim y$が以下を満たすとき,その関係$x \sim y$を同値関係[equivalence relation]といいます.
  1. 推移律:$x \sim y,y \sim x \Rightarrow x \sim x$
  2. 反射律:$x \sim x$
  3. 対象律:$x \sim y \Rightarrow y \sim x$

なお,アフィン変換[affine transformation]射影変換[projective transformation]は弱い同値関係を与える操作になっています.

群[Group]

同値関係[equivalence relation]に似ている対称性[symmetry]の持つ性質を明らかにしているのが群の公理になります.

【公理】群[Group]

集合$G$上に,$x,y \in G$に$x \cdot y \in G$を対応させる演算 $\cdot$ が以下が成り立つように定義されるとき,$G$は群[Group]とよばれます.
  1. 結合則:$(x \cdot y) \cdot z=x \cdot (y \cdot z)$
  2. 単位元 $e \in G$ の存在
  3. $G$の各元$x$に対する逆元$x^{-1}$の存在

亜群[groupoid]

同値関係[equivalence relation]の推移律・反射律・対称律と群[Group]の結合則・単位元の存在・逆元の存在,の間には類似性がみてとれます.

その根底にあり,両者を結び付けるのが亜群[groupoid]になります.

【公理】亜群[groupoid]の公理

添字付けされた元[要素]の集まりを族といいますが,その族$X_{i}(i \in I)$に対して,$X_{i}$から$X_{j}$への変換全体の集合$G_{ij}$と,変換の合成$G_{ij} \times G_{jk} \to G_{ik}$について,
  1. $f \in G_{ij},g \in G_{jk},h \in G_{kl}$に対して,$(hg)f=h(gf)$
  2. $e_{i} \in G_{ii}(i \in I)$が存在し,任意の$f \in G_{ij}$に対して,$e_{j}f=f,fe_{j}=f$
  3. 任意の$f \in G_{ij}$に対して,その逆$f^{-1} \in G_{ji}$が存在して,$f^{-1}f=e_{i},ff^{-1}=e_{j}$
が成り立つことを亜群[groupoid]の公理といいます.

亜群[groupoid]の公理から$G_{ii}$が群になることが導かれます.

また,$G_{ij} \neq \emptyset$とすると同値関係が導かれます.

さらに,亜群[groupoid]の公理の3番目の条件を除くと圏の公理となります.\[\{G_{ij}\}_{i,j \in I}\]というを考えるとき,$i \in I$を対象[object],集合$G_{ij}$の元を射[morphism]といいます.

Vita brevis, ars longa. Omnia vincit Amor.





















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