代数的確率空間
*-代数[${}^{*}$-algebra]
複素数体 $\mathbb{C}$ 上の代数 $\mathcal{A}$ に
対合と呼ばれる演算\[a \mapsto a^{*}\]を与えたものを，*-代数といいます．
状態[state]
*-代数 $\mathcal{A}$ 上で定義された $\mathbb{C}$-値関数が以下の3つの性質を満たすとき，$\mathcal{A}$ 上の状態[state]といいます．
- $\varphi$ は線形関数
- 全ての $a \in \mathcal{A}$ に対して，$\varphi(a^{*}a) \geq 0$
- $\varphi(1_{\mathcal{A}})=1$
代数的確率空間[algebraic probability space]
*-代数 $\mathcal{A}$ 上とその上で定義された状態 $\varphi$ を組にした $(\mathcal{A},\varphi)$ を代数的確率空間[algebraic probability space]といいます．
なお，*-代数には，${\rm C}^{*}$代数などの位相的な性質を仮定していません．このため，ガウス型確率変数やポアソン型確率変数といった確率論における非有界作用素[unbounded operator]を，古典的確率論を抽象化した自由確率論[非可換確率論，代数的確率]の範疇で捉えることが可能になります．
Mathematics is the language with which God has written the universe.
