テイラーの定理

定理：テイラーの定理[Taylor's theorem]

$f(x)$ を開区間

$I$ 上において

$n$ 回微分可能な関数とし,

$a \in I$ とする.
このとき,

$I$ 上のすべての

$x$ について,

$\begin{eqnarray} f(x)&=&f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}f"(a)(x-a)^{2}+ \cdots \\ && \cdots +\frac{1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a)(x-a)^{n-1}+\frac{1}{n!}f^{n}(c_{x})(x-a)^{n} \end{eqnarray}$ となる

$a$ と

$x$ の間の点

$c_{x}=a+\theta(x-a) , 0<\theta<1$ が存在する.

$x=a$ の場合は,

$\begin{eqnarray} f(a)&=&f(a)+f'(a)(a-a)+\frac{1}{2}f"(a)(a-a)^{2}+ \cdots \\ && \cdots +\frac{1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a)(a-a)^{n-1}+\frac{1}{n!}f^{n}(c_{a})(a-a)^{n} \end{eqnarray}$ となり,

$f(a)=f(a)$ であり,明らかに成立する.

次に, $b \neq a$ である任意の $b \in I$ について, $\begin{eqnarray} f(b)&=&f(a)+f'(a)(b-a)+\frac{1}{2}f"(a)(b-a)^{2}+ \cdots \\ && \cdots +\frac{1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a)(b-a)^{n-1}+\frac{1}{n!}f^{n}(c_{b})(b-a)^{n} \end{eqnarray}$ が成り立つかどうかを調べる.

ここで,定数 $A$ を, $A(b-a)^{n}:=f(b)-\{f(a)+f'(a)(b-a)+ \cdots +\frac{1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a)(b-a)^{n}\}$ とおく.そして, $I$ 上の関数 $g(x)$ を次のように定義する. $g(x):=f(b)-\{f(x)+f'(x)(b-x)+ \cdots +\frac{1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(x)(b-x)^{n}+A(b-x)^{n}\}$ $g(x)$ は $I$ 上の微分可能な関数であり, $\begin{eqnarray} g(a)&=&f(b)-\{f(a)+f'(a)(b-a)+ \cdots +\frac{1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a)(b-x)^{n}+A(b-a)^{n}\} \\g(b)&=&f(b)-\{f(b)+f'(b)(b-b)+ \cdots +\frac{1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(b)(b-b)^{n}+A(b-b)^{n}\} \end{eqnarray}$ となり, $g(a)$ は $A(b-a)^{n}$ の定義から $g(a)=0$ , $g(b)$ も上式より, $g(b)=f(b)-f(b)$ であるから $g(b)=0$ となる. $\therefore g(a)=g(b)$

従って,ロルの定理から, $g'(c_{b}=0)$ となる $c_{b}$ が $a$ と $b$ の間に存在する.

そこで, $g'(x)$ を計算する.

$k \geq　1$ について, $\{\frac{1}{k!}f^{(k)}(x)(b-x)^{k}\}'=\frac{1}{k!}f^{(k+1)}(x)(b-x)^{k}-\frac{1}{(k-1)!}f^{(k)}(x)(b-x)^{k-1}$ となることから, $g'=-f'(x)+f'(x)-f"(x)(b-x)+f"(x)(b-x)-\frac{1}{2}f^{(3)}(b-x)^{2} \cdots$ となり,隣り合う項どうしが打ち消しあう.

その結果, $g'=-\frac{1}{(n-1)!}f^{(n)}(x)(b-x)^{n-1}+nA(b-x)^{n-1}$ そして, $g'(c_{b})=0$ であるから, $\begin{eqnarray} \frac{1}{(n-1)!}f^{(n)}(c_{b})(b-c_{b})^{n-1}&=&nA(b-c_{b})^{n-1} \\ \frac{1}{(n-1)!}f^{(n)}(c_{b})&=&nA \\ \frac{1}{n(n-1)!}f^{(n)}(c_{b})&=&A \\ \frac{1}{n!}f^{(n)}(c_{b})&=&A \end{eqnarray}$ 上式を $g(a)=0$ に代入すると, $g(a)=f(b)-\{f(a)+f'(a)(b-a)+ \cdots +\frac{1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a)(b-a)^{n}+\frac{1}{n!}f^{(n)}(c_{b})(b-a)^{n}\}$ ここで, $b=x$ とすると, $g(a)=0=f(x)-\{f(a)+f'(a)(x-a)+ \cdots +\frac{1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a)(x-a)^{n}+\frac{1}{n!}f^{(n)}(c_{b})(x-a)^{n}$ つまり, $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+ \cdots$ ∎

このテイラーの定理は,独立同分布に従う確率変数列の部分和を標準化すると,期待値 0, 分散 1 の正規分布 $N(0, 1)$ に分布収束するという中心極限定理[central limit theorem, CLT]を導く際に用いられる.

數學史

テイラーの定理[Taylor's theorem]はブルック・テイラー[Sir Brook Taylor,1685/8/18-1731/12/29]に因む.ブルック・テイラーは1712年にこの定理を発表.その後,ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ[Joseph-Louis Lagrange;1736/1/25-1813/4/10]によって厳密化された.

Mathematics is the language with which God has written the universe.

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