テイラーの定理

定理:テイラーの定理[Taylor's theorem]

$f(x)$ を開区間 $I$ 上において $n$回微分可能な関数とし,$a \in I$ とする.
このとき, $I$ 上のすべての $x$ について,\[\begin{eqnarray} f(x)&=&f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}f"(a)(x-a)^{2}+ \cdots \\ && \cdots +\frac{1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a)(x-a)^{n-1}+\frac{1}{n!}f^{n}(c_{x})(x-a)^{n} \end{eqnarray}\]となる $a$ と $x$ の間の点 \[c_{x}=a+\theta(x-a) , 0<\theta<1 \] が存在する.

$x=a$ の場合は,\[\begin{eqnarray} f(a)&=&f(a)+f'(a)(a-a)+\frac{1}{2}f"(a)(a-a)^{2}+ \cdots \\ && \cdots +\frac{1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a)(a-a)^{n-1}+\frac{1}{n!}f^{n}(c_{a})(a-a)^{n} \end{eqnarray}\]となり,\[ f(a)=f(a)\]であり,明らかに成立する.

次に, $b \neq a$ である任意の $b \in I$ について,\[\begin{eqnarray} f(b)&=&f(a)+f'(a)(b-a)+\frac{1}{2}f"(a)(b-a)^{2}+ \cdots \\ && \cdots +\frac{1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a)(b-a)^{n-1}+\frac{1}{n!}f^{n}(c_{b})(b-a)^{n} \end{eqnarray} \]が成り立つかどうかを調べる.

ここで,定数 $A$ を,\[A(b-a)^{n}:=f(b)-\{f(a)+f'(a)(b-a)+ \cdots +\frac{1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a)(b-a)^{n}\} \]とおく.そして,$I$ 上の関数 $g(x)$ を次のように定義する.\[g(x):=f(b)-\{f(x)+f'(x)(b-x)+ \cdots +\frac{1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(x)(b-x)^{n}+A(b-x)^{n}\} \]$g(x)$ は $I$上の微分可能な関数であり,\[\begin{eqnarray} g(a)&=&f(b)-\{f(a)+f'(a)(b-a)+ \cdots +\frac{1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a)(b-x)^{n}+A(b-a)^{n}\} \\g(b)&=&f(b)-\{f(b)+f'(b)(b-b)+ \cdots +\frac{1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(b)(b-b)^{n}+A(b-b)^{n}\} \end{eqnarray} \]となり,$g(a)$ は $A(b-a)^{n}$ の定義から$g(a)=0$,$g(b)$も上式より, \[g(b)=f(b)-f(b)\]であるから$g(b)=0$となる.\[\therefore g(a)=g(b)\]

従って,ロルの定理から,$g'(c_{b}=0)$ となる $c_{b}$ が $a$ と $b$ の間に存在する.

そこで, $g'(x)$ を計算する.

$k \geq 1$ について,\[\{\frac{1}{k!}f^{(k)}(x)(b-x)^{k}\}'=\frac{1}{k!}f^{(k+1)}(x)(b-x)^{k}-\frac{1}{(k-1)!}f^{(k)}(x)(b-x)^{k-1} \]となることから,\[g'=-f'(x)+f'(x)-f"(x)(b-x)+f"(x)(b-x)-\frac{1}{2}f^{(3)}(b-x)^{2} \cdots \]となり,隣り合う項どうしが打ち消しあう.

その結果,\[g'=-\frac{1}{(n-1)!}f^{(n)}(x)(b-x)^{n-1}+nA(b-x)^{n-1} \]そして,$g'(c_{b})=0$ であるから,\[ \begin{eqnarray} \frac{1}{(n-1)!}f^{(n)}(c_{b})(b-c_{b})^{n-1}&=&nA(b-c_{b})^{n-1} \\ \frac{1}{(n-1)!}f^{(n)}(c_{b})&=&nA \\ \frac{1}{n(n-1)!}f^{(n)}(c_{b})&=&A \\ \frac{1}{n!}f^{(n)}(c_{b})&=&A \end{eqnarray} \]上式を $g(a)=0$ に代入すると,\[ g(a)=f(b)-\{f(a)+f'(a)(b-a)+ \cdots +\frac{1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a)(b-a)^{n}+\frac{1}{n!}f^{(n)}(c_{b})(b-a)^{n}\}\]ここで, $b=x$ とすると,\[ g(a)=0=f(x)-\{f(a)+f'(a)(x-a)+ \cdots +\frac{1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a)(x-a)^{n}+\frac{1}{n!}f^{(n)}(c_{b})(x-a)^{n}\]つまり,\[f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+ \cdots \]∎

このテイラーの定理は,独立同分布に従う確率変数列の部分和を標準化すると,期待値 0, 分散 1 の正規分布 $N(0, 1)$ に分布収束するという中心極限定理[central limit theorem, CLT]を導く際に用いられる.

數學史

テイラーの定理[Taylor's theorem]はブルック・テイラー[Sir Brook Taylor,1685/8/18-1731/12/29]に因む.ブルック・テイラーは1712年にこの定理を発表.その後,ジョゼフ=ルイ・ラグランジュ[Joseph-Louis Lagrange;1736/1/25-1813/4/10]によって厳密化された.

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