Theorem：
離散時間の幾何分布に従う確率変数 $X_{\Delta t}$ を考える.すなわち, 試行が $\Delta t>0$ ごとに独立に成功確率 $p=\lambda \Delta t$ で起こる場合に, 最初の成功が現れるまでの試行回数 $X_{\Delta t}$ は\[\mathbb{P}(X_{\Delta t} = k) = (1-p)^{k-1} p, \quad k=1,2,3,\dots\]であるとする.ここで $\lambda>0$ は固定の定数とする.
時間に換算した「成功までの待ち時間」を\[T_{\Delta t} := X_{\Delta t} \cdot \Delta t\]と定義する.このとき $\Delta t \to 0$ の極限で, \[T_{\Delta t} \xrightarrow{d} T\]となり, $T$ はパラメータ $\lambda$ の指数分布に従う.すなわち\[\lim_{\Delta t \to 0} \mathbb{P}(T_{\Delta t} \le t) = 1 - e^{-\lambda t}, \quad t \ge 0.\]
離散時間の幾何分布に従う確率変数 $X_{\Delta t}$ を考える.成功確率を $p = \lambda \Delta t$ とし, 試行が $\Delta t > 0$ ごとに独立に行われる場合, 最初の成功が現れるまでの試行回数の確率分布は\[\mathbb{P}(X_{\Delta t} = k) = (1-p)^{k-1} p, \quad k=1,2,3,\dots\]である.時間換算した待ち時間を $T_{\Delta t} := X_{\Delta t} \cdot \Delta t$ と定義する.待ち時間 $T_{\Delta t}$ がある値 $t \ge 0$ 以下になる確率は\[\mathbb{P}(T_{\Delta t} \le t) = \mathbb{P}(X_{\Delta t} \cdot \Delta t \le t)\]であり, 両辺を $\Delta t$ で割ると\[\mathbb{P}(X_{\Delta t} \le t / \Delta t)\]となる.右辺は有限幾何級数の和として表せるため, \[\mathbb{P}(T_{\Delta t} \le t) = \sum_{k=1}^{\lfloor t / \Delta t \rfloor} (1-p)^{k-1} p = 1 - (1-p)^{\lfloor t / \Delta t \rfloor}\]となる.ここで $p = \lambda \Delta t$ を代入すると\[\mathbb{P}(T_{\Delta t} \le t) = 1 - (1 - \lambda \Delta t)^{\lfloor t / \Delta t \rfloor}\]となる.極限 $\Delta t \to 0$ を考えると, よく知られた極限公式 $\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e$ を用いて\[\lim_{\Delta t \to 0} (1 - \lambda \Delta t)^{\lfloor t / \Delta t \rfloor} = e^{-\lambda t}\]が得られる.したがって\[\lim_{\Delta t \to 0} \mathbb{P}(T_{\Delta t} \le t) = 1 - e^{-\lambda t}, \quad t \ge 0\]となり, $T_{\Delta t}$ は極限でパラメータ $\lambda$ の指数分布に収束することが示される.これにより, 離散時間の幾何分布は, 試行間隔を小さくして成功確率を $p = \lambda \Delta t$ に調整すると, 連続時間の指数分布で自然に近似されることが明確となる.
Mathematics is the language with which God has written the universe.