ポアソンの極限定理

二項分布の確率質量関数は,\[\Pr(X_n=k)=\binom{n}{k} p_n^k (1-p_n)^{\,n-k},\qquad k=0,1,2,\dots\]これを因数分解して整理すると[$k$ は固定とする], \[\begin{align}\Pr(X_n=k)&= \frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}\, p_n^k (1-p_n)^{n-k} \nonumber\\&= \frac{n^k}{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\Bigl(1-\frac{j}{n}\Bigr)\; p_n^k\; (1-p_n)^n\; (1-p_n)^{-k} \nonumber\\&= \frac{(n p_n)^k}{k!}\; \prod_{j=0}^{k-1}\Bigl(1-\frac{j}{n}\Bigr)\; (1-p_n)^n\; (1-p_n)^{-k}.\label{eq:decomp}\end{align}\]次に,右辺の各因子について極限をとる.まず条件 $n p_n \to \lambda$ から, \[p_n = \frac{n p_n}{n} \longrightarrow 0\]となる.

第1の因子である有限個の積について考える.固定された $j=0,1,\dots,k-1$ に対して各因子は $\displaystyle 1-\frac{j}{n} \to 1$ となるため,積全体も,\[\prod_{j=0}^{k-1}\Bigl(1-\frac{j}{n}\Bigr) \longrightarrow 1.\]次に,第2の因子については,条件 $n p_n \to \lambda$ から $(n p_n)^k \to \lambda^k$ が成り立つ.さらに,第3の因子については,$p_n \to 0$ であるため,$(1-p_n)^{-k} = 1 + o(1)$ となり,従って $(1-p_n)^{-k} \to 1$ である.最も重要な第4の因子に関して,$(1-p_n)^n \to e^{-\lambda}$ を示すために対数を取る.\[ \ln\bigl[(1-p_n)^n\bigr] = n \ln(1-p_n). \] ここで $p_n\to0$ なので標準的に \[ \lim_{x\to0}\frac{\ln(1-x)}{x}=-1 \]が成り立つ.

以上より,従って\[\frac{\ln(1-p_n)}{p_n} \longrightarrow -1,\]両辺に $n p_n$ を掛けて\[n\ln(1-p_n)= (n p_n)\cdot \frac{\ln(1-p_n)}{p_n} \longrightarrow \lambda\cdot(-1) = -\lambda.\]従って,指数に戻すと $(1-p_n)^n \to e^{-\lambda}$ である.

以上を最初の式に代入すると,各因子の極限の積として,\[\lim_{n\to\infty} \Pr(X_n=k)= \frac{\lambda^k}{k!}\cdot 1 \cdot e^{-\lambda}\cdot 1= \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}.\]この極限は任意の固定 $k\ge0$ に対して成り立つので,点確率がポアソン質量関数に収束することが示された.従って,分布収束[弱収束]として $X_n \xrightarrow{d} \mathrm{Poisson}(\lambda)$ が成立することになる.

備考：二項係数の展開

二項係数\[\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}\]の積の各項から $n$ を括り出すと,\[n(n-1)\cdots (n-k+1) = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n-(k-1))= n^k \prod_{j=1}^{k-1} \frac{n-j}{n}.\]ここで積のインデックスを $0$ から始める形に書き換えると,\[\prod_{j=1}^{k-1} \frac{n-j}{n} = \prod_{j=0}^{k-1} \left(1 - \frac{j}{n}\right).\]従って,階乗で割ると最終的に,\[\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!} = \frac{n^k}{k!} \prod_{j=0}^{k-1} \left(1 - \frac{j}{n}\right)\]となる.

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