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命題論理

命題論理（Propositional Logic）とは，原子的命題の論理的な性質を分析する枠組みを命題論理（Propositional Logic）といいます．

原子的命題とは，単純命題（simple proposition）ともいい，肯定文の単文で表現される命題であり，形式化の最小単位です．

このような単純命題の内部構造を問題にしない論理が命題論理（Propositional Logic）ということになります．

なお，命題を記号化したものは，論理式（wff;well-formed formula）といいます．

命題論理の論理式

否定 negation	$p$ ということはない	$\lnot p$
論理積/連言 conjunction	$p$ かつ $q$	$p \land q$
論理和/選言 disjunction	$p$ または $q$	$p \lor q$
含意 implication	$p$ ならば $q$	$p \to q$
同値 equivalence	$p$ のとき，また，そのときのみ $q$	$p \leftrightarrow q$

真 true	真である	$\top$
偽 true	偽である	$\bot$

真理関数 truth-function

ある命題$Q$ の真理値が，他の特定の命題$A,\cdots$から導かれるとき，命題$Q$ は命題 $A,\cdots$ の真理関数といいます．

零項真理関数zero-place truth-function	0個の論理式をとる真理関数	true（$\top$）， false（$\bot$）
一項真理関数one-place truth-function	論理式の1つの組をとる真理関数	$\lnot$
二項真理関数two-place truth-function	論理式の1つの組をとる真理関数	$\land$，$\lor$，$\to$，$\leftrightarrow$

命題論理の論理式の定義

命題論理（一階命題論理）の記号が与えられたとき，命題論理の論理式の集合は以下で定義されます．

• 命題記号は論理式である．
• $\rho$ が $n$項真理関数であって，$(\varphi_{1},\varphi_{2},\cdots,\varphi_{n})$ が $n$ 組の論理式ならば，$\rho(\varphi_{1},\varphi_{2},\cdots,\varphi_{n})$ は論理式．
• 上記以外は命題論理の論理式ではない．

命題論理の抽象構文による定義

命題論理式は，$F$ を命題論理式の構文カテゴリ，$P$ を命題変数の構文カテゴリとして，抽象構文（abstract syntax）によって以下のようにも定義されます． $$F::=\top|\bot|P|\lnot F|F \land F|F \lor F|F \to F$$

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※一階とは高階ではないということであり，つまり，論理自身は扱わない，という意味になります．

Mathematics is the language with which God has written the universe.