定理

命題（proposition），補題（lemma），系（corollary）からなる定理のうち特に重要なものを定理（theorem）といいます．

• 命題（proposition）：
  定理のうちそれほど重要ではないもののこと．
  真（true），偽（false）のいずれかが定まる文（sentence）という意味もあります．
  • 公理（axiom）：
    理論の出発点として使う命題のこと．
• 補題（lemma）：
  他の定理や命題の証明の準備となる定理のこと．
• 系（corollary）：
  他の定理や命題から容易に導かれるもののこと．

原子的命題

命題から「否定，かつ，または，ならば」という命題結合子を取り除くことによって，複雑な命題を単純な命題に分解していくということを繰り返すことで得られる，これ以上は分解不可能な命題のことを原子的命題といいます．原子的命題を表現する記号を命題変数と言います．

原子的命題の論理的な性質を分析する枠組みを命題論理（Propositional Logic）といいます．

原子的命題を「主語＋述語」に分解し，「否定，かつ，または，ならば」という命題結合子と，「すべての，存在する」という量化子によって構成される命題を論理的に分析する枠組みを述語論理（Predicate Logic）といいます．

命題結合子（propositional connection）

命題と命題を繋いで新しい命題をつくるもの．「否定，かつ，または，ならば」がよく使われます．また，「否定，かつ，または，ならば」は，$\lnot,\land,\lor,\to$ という記号で表現され，否定（negation），論理積（連言:conjuction），論理和（選言:disjunction），含意（implication）と言われます．

$A \to B$

「A ならば B」，つまり，\[A \to B\] という命題の否定は，「AなのにBではない」，つまり，\[A \to \lnot B\]となります．

これは，A かつ Bではない，ということと同じです．つまり，\[\lnot(A \to B)=A \land \lnot B\]となります．

これは，つまり，\[A \to B=\lnot A \lor B\]ということになります．

このように考えると，命題結合子は4つも必要なく，「否定，ならば」$\lnot,\to$ があれば十分ということになります．

命題変数（propositional variable）

$x$ を定めると命題になる文 $P(x)$ を 命題関数または述語といいます．このとき，$x$ を命題変数（PV:propositional variable）といいます．
PV（propositional variable）を空ではない集合としたとき，PVの要素を命題変数（PV:propositional variable）とする，という再帰的な形でも定義されます．

Mathematics is the language with which God has written the universe.