ヤコビアン

$uv-$平面における小さな四角形 $[u,u+du]\times[v,v+dv]$ に対応する $xy-$平面における小さな四角形は,\[(x(u,v),y(u,v)),(x(u+du,v),y(u+du,v)),(x(u,v+dv),y(u,v+dv)),(x(u+du,v+dv),y(u+du,v+dv))\]という4つの頂点から構成されます.

この四角形を作る2つのベクトルは,$du,dv$ が非常に小さいとすると,\[\left[ \begin{matrix} x\left(u+du,v\right)-x\left(u,v\right) \\ y\left(u+du,v\right)-y\left(u,v\right)\end{matrix} \right]\approx\left[ \begin{matrix}\dfrac {\partial x} {\partial u}\\\dfrac {\partial y} {\partial u}\end{matrix} \right]du\] \[\left[ \begin{matrix} x\left(u,v+dv\right)-x\left(u,v\right) \\ y\left(u,v+dv\right)-y\left(u,v\right)\end{matrix} \right]\approx\left[ \begin{matrix}\dfrac {\partial x} {\partial u}\\\dfrac {\partial y} {\partial u}\end{matrix} \right]dv\]ところで,ベクトル$(a,b)$と$(c,d)$の作る四角形の面積は,\[\left[ \begin{matrix} a& b\\ c& d\end{matrix} \right]\]の行列式 $ad-bc$ となります.

従って,先の小さな四角形の面積は,\[det\left[ \begin{matrix} \dfrac {\partial x} {\partial u}du & \dfrac {\partial x} {\partial v}dv \\ \dfrac {\partial y} {\partial u}du & \dfrac {\partial y} {\partial v}dv \end{matrix} \right]=det\left[ \begin{matrix} \dfrac {\partial x} {\partial u} & \dfrac {\partial x} {\partial v} \\ \dfrac {\partial y} {\partial u} & \dfrac {\partial y} {\partial v} \end{matrix} \right]dudv=J(u,v)dudv\]ここで,$J$はヤコビアンと呼ばれます.

整理すると,ヤコビアンという関数$J(u,v)$を,\[J(u,v) \equiv \dfrac {\partial (x,y)} {\partial (u,v)} \equiv det \left[\begin{matrix} \dfrac {\partial x} {\partial u} & \dfrac {\partial x} {\partial v} \\ \dfrac {\partial y} {\partial u} & \dfrac {\partial y} {\partial u} \end{matrix}\right]\]と定義します.

ここで,変数変換は,

という十分に性質の良いものであるとき,\[\int \int _{A}f(x,y)dxdy=\int \int _{B}g(u,v)|J(u,v)|dudv\]が成り立ちます.


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