三角関数の加法定理

【定理】三角関数の加法定理

\[\begin{align}cos(\alpha-\beta)&=&cos\,\alpha\,\,cos\,\beta\,+\,sin\,\alpha\,\,sin\,\beta\\cos(\alpha+\beta)&=&cos\,\alpha\,\,cos\,\beta\,-\,sin\,\alpha\,\,sin\,\beta\\sin(\alpha+\beta)&=&sin\,\alpha\,\,cos\,\beta\,+\,cos\,\alpha\,\,sin\,\beta\\sin(\alpha-\beta)&=&sin\,\alpha\,\,cos\,\beta\,-\,cos\,\alpha\,\,sin\,\beta \end{align}\]

上図において円の半径を $1$ とすると,\[P(cos \alpha,sin \alpha),Q(cos \beta,sin \beta)\]であるので,\[\begin{align}PQ^{2}&=(cos \alpha - cos \beta)^{2}+(sin \alpha - sin \beta)^{2}\\&=cos^{2}\alpha-2cos \alpha cos \beta +cos^{2}\beta+sin^{2}\alpha-sin \alpha sin \beta+sin^{2}\beta\\&=2-2(cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta)\end{align}\]

また,余弦定理から,\[\begin{align}PQ^{2}&=OP^{2}+OQ^{2}-2OP \cdot OQ \cdot cos(\alpha-\beta)\\&=1^{2}+1^{2}-2 \cdot 1 \cdot 1\cdot cos(\alpha - \beta)\\&=2-2cos(\alpha-\beta)\end{align}\]となるので,\[2-2cos(\alpha-\beta)=2-2(cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta)\]

従って,\[cos(\alpha-\beta)=cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta\]となります.

次に,\[\alpha+\beta=\alpha-(-\beta)\]であるから,\[\begin{align}cos(\alpha+\beta)&=cos\{\alpha-(-\beta)\}\\&=cos \alpha cos (-\beta)+sin \alpha sin (-\beta)\\&=cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta\end{align}\]となります.

さらに,\[\begin{align}sin(\alpha+\beta)&=cos\{90^\circ-(\alpha+\beta)\}\\&=cos\{(90^\circ-\alpha)-\beta\}\\&=cos(90^\circ-\alpha)cos\beta+sin(90^\circ-\alpha)sin\beta\\&=sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta\end{align}\]となります.

さらに,\[\begin{align}sin(\alpha-\beta)&=sin\{\alpha+(-\beta)\}\\&=sin \alpha cos(-\beta)+cos \alpha sin(-\beta)\\&=sin\alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta\end{align}\]となります.

また,\[\begin{align}tan(\alpha+\beta)&=\frac{sin(\alpha+\beta)}{cos(\alpha+\beta)}\\&=\frac{sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta}{cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta}\end{align}\]となるので,分子と分母を\[cos \alpha cos \beta\]で割ると,\[tan(\alpha+\beta)=\frac{tan \alpha + tan \beta}{1-tan \alpha tan \beta}\]となります.

同様にして,\[\begin{align}tan(\alpha-\beta)&=\frac{sin(\alpha-\beta)}{cos(\alpha-\beta)}\\&=\frac{sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta}{cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta}\end{align}\]分子と分母を\[cos \alpha cos \beta\]で割ると,\[tan(\alpha-\beta)=\frac{tan \alpha - tan \beta}{1+tan \alpha tan \beta}\]となります.


Mathematics is the language with which God has written the universe.





















三角関数の関係式 - 三角関数の加法定理 - 太陽系と惑星 the solar system and planets - 暖かい雨と冷たい雨 - 大気の安定・不安定