Point
上図のように異なる誘電率をもつ物質の境界をまたがるような長方形の線積分を考える.また,境界をまたがる長方形の長辺の長さは $l$,短辺の長さは無限小であるとする.
ここで,ファラデーの法則の積分形を考える.\[\int_{S}\dot{E}({\dot{r},t}) \cdot \textrm{d}\dot{r}=-\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\int_{S}\dot{B} \cdot \textrm{d}\dot{S}\]ここで,時間変化する外部磁場は存在しないので右辺は $0$ となる.\[\int_{S}\dot{E}({\dot{r},t}) \cdot \textrm{d}\dot{r}=0\]さらに,$\dot{E}_{1}$ と平行かつ単位長さのベクトルを $\dot{e}$ とすると,\[\int_{S}\dot{E}({\dot{r},t}) \cdot \textrm{d}\dot{r}=(\dot{E}_{1} - \dot{E}_{2}) \cdot \dot{e} l=0\]$\dot{e}$ と $l$ は $0$ とはならないので,結局,\[\dot{E}_{1} - \dot{E}_{2}=0\]すなわち,\[\dot{E}_{1} = \dot{E}_{2}=0\]となる.
上式は,異なる誘電率をもつ物質の境界においては,電界の接線成分,つまり,境界面に平行な成分は等しくなることを意味する.
Mathematics is the language with which God has written the universe.