連続型確率分布は、確率変数が連続的な値をとる場合に、その分布を記述する枠組みである。離散型分布と異なり、個々の点に確率が割り当てられるのではなく、区間に対して確率が定義される。この構造は測度論に基づき、ルベーグ積分によって厳密に定式化される。
確率変数 $X : \Omega \to \mathbb{R}$ が連続型であるとは、その分布が確率密度関数 $f : \mathbb{R} \to [0,\infty)$ を用いて表現できることをいう。すなわち、任意のボレル集合 $B \subseteq \mathbb{R}$ に対して
\[P(X \in B) = \int_B f(x)\,dx\]
が成立する。
確率密度関数 $f(x)$ は次の条件を満たす。
また、任意の区間 $[a,b]$ に対して、
\[P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dx\]
が成立する。
特に、任意の点 $x \in \mathbb{R}$ に対して
\[P(X = x) = 0\]
である。
累積分布関数は
\[F_X(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt\]
で定義される。この関数は連続かつ単調非減少であり、ほとんど至る所で微分可能であり、
\[f(x) = \frac{d}{dx} F_X(x)\]
が成立する。
連続型確率変数の期待値は
\[\mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx\]
によって定義される。
分散は
\[\mathrm{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2 f(x)\,dx, \quad \mu = \mathbb{E}[X]\]
で与えられる。
確率変数 $X$ に対して、単調関数 $Y = g(X)$ を考えるとき、確率密度関数は次のように変換される。
\[f_Y(y) = f_X(x) \left| \frac{dx}{dy} \right|\]
ここで $x = g^{-1}(y)$ である。
多次元確率変数 $X = (X_1, \dots, X_n)$ に対しては、同時密度関数
\[f(x_1, \dots, x_n)\]
が定義され、任意の領域 $A \subseteq \mathbb{R}^n$ に対して
\[P(X \in A) = \int_A f(x_1, \dots, x_n)\,dx_1 \cdots dx_n\]
が成立する。
周辺分布は積分によって得られる。例えば、
\[f_{X_1}(x_1) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x_1, x_2)\,dx_2\]
である。
区間 $[a,b]$ 上で一様な分布：
\[f(x) = \frac{1}{b-a}, \quad a \leq x \leq b\]
平均 $\mu$、分散 $\sigma^2$ の正規分布：
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\]
パラメータ $\lambda > 0$ の指数分布：
\[f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0\]
連続型確率分布は、確率密度関数によって特徴づけられ、積分を通じて確率を計算する。個々の点の確率はゼロであり、区間に対して確率が割り当てられる点が本質的である。この枠組みは解析学と密接に結びついており、統計学や確率過程論の基礎を形成する。
Mathematics is the language with which God has written the universe.