モーメント母関数および特性関数は、確率分布を解析的に記述するための重要な道具である。これらは確率変数の分布を関数として表現し、モーメントの計算や分布の同定、極限定理の解析において中心的役割を果たす。
確率変数 $X$ に対して、モーメント母関数（moment generating function, MGF）は
\[M_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}]\]
によって定義される。ただし、この期待値がある開区間で有限であるときに定義される。
離散型の場合：
\[M_X(t) = \sum_{x} e^{tx} P(X=x)\]
連続型の場合：
\[M_X(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} f(x)\,dx\]
モーメント母関数は、その導関数によってモーメントを生成する。
\[M_X^{(n)}(t) = \frac{d^n}{dt^n} M_X(t)\]
特に、
\[\mathbb{E}[X^n] = M_X^{(n)}(0)\]
が成立する。
モーメント母関数がある開区間で存在する場合、それは確率分布を一意に定める。
独立な確率変数 $X, Y$ に対して、
\[M_{X+Y}(t) = M_X(t) M_Y(t)\]
が成立する。
特性関数（characteristic function）は、複素指数関数を用いて
\[\varphi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}], \quad t \in \mathbb{R}\]
として定義される。
離散型：
\[\varphi_X(t) = \sum_{x} e^{itx} P(X=x)\]
連続型：
\[\varphi_X(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} f(x)\,dx\]
特性関数は常に存在する。すなわち、任意の確率変数に対して定義可能である。
\[|\varphi_X(t)| \leq 1\]
$\varphi_X(t)$ は一様連続である。
\[\varphi_X(0) = 1\]
モーメントが存在する場合、
\[\varphi_X^{(n)}(0) = i^n \mathbb{E}[X^n]\]
が成立する。
独立な確率変数に対して、
\[\varphi_{X+Y}(t) = \varphi_X(t)\varphi_Y(t)\]
が成立する。
特性関数は確率分布のフーリエ変換に一致する。すなわち、
\[\varphi_X(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} dF_X(x)\]
である。
適当な条件のもとで、逆フーリエ変換により分布を復元できる。
確率変数列 $X_n$ が分布収束することと、
\[\varphi_{X_n}(t) \to \varphi_X(t)\]
が各 $t$ において成立することは同値である（レヴィの連続性定理）。
モーメント母関数はモーメントを生成する解析的道具であり、特性関数は常に存在しフーリエ解析と結びつく強力な手段である。特に特性関数は分布の一意性や収束解析において重要であり、確率論の理論的発展において中心的役割を果たす。
Mathematics is the language with which God has written the universe.