正規分布（ガウス分布）は、連続型確率分布の中で最も重要かつ基本的な分布であり、多くの自然現象や誤差のモデルとして現れる。その重要性は中心極限定理によって理論的に裏付けられている。
平均 $\mu \in \mathbb{R}$、分散 $\sigma^2 > 0$ をパラメータとする正規分布は、確率密度関数
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\]
によって定義される。このとき $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ と書く。
特に、$\mu = 0$, $\sigma^2 = 1$ の場合を標準正規分布と呼び、
\[Z \sim \mathcal{N}(0,1)\]
と表す。
任意の正規分布に従う確率変数 $X$ は、
\[Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\]
によって標準正規分布に変換できる。
\[\mathbb{E}[X] = \mu, \quad \mathrm{Var}(X) = \sigma^2\]
\[M_X(t) = \exp\left(\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2\right)\]
\[\varphi_X(t) = \exp\left(i\mu t - \frac{1}{2}\sigma^2 t^2\right)\]
正規分布は平均 $\mu$ を中心として対称である。
独立な正規分布に従う確率変数 $X \sim \mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2)$,$Y \sim \mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2^2)$ に対して、
\[X + Y \sim \mathcal{N}(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)\]
が成立する。
$X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ に対して、
\[aX + b \sim \mathcal{N}(a\mu + b, a^2\sigma^2)\]
が成立する。
独立同分布な確率変数列 $X_1, \dots, X_n$ に対して、
\[\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^{n} \frac{X_i - \mu}{\sigma}\Rightarrow \mathcal{N}(0,1)\]
が成立する。この定理により、多くの分布が極限的に正規分布に近づく。
正規分布の累積分布関数は初等関数で表現できないため、数値表や数値計算が用いられる。標準正規分布の分布関数を
\[\Phi(x) = P(Z \leq x)\]
と書く。
正規分布は、測定誤差、自然現象、金融データなど多くの分野で現れる。また、統計的推論（検定や信頼区間）において中心的な役割を果たす。
正規分布は対称性と解析的な扱いやすさを持つ基本的分布であり、中心極限定理によりその普遍性が保証される。確率論および統計学の理論と応用の双方において中核的な位置を占める。
Mathematics is the language with which God has written the universe.