指数分布およびガンマ分布は、待ち時間や到着過程を記述する連続型確率分布であり、ポアソン過程と密接に関係する。指数分布は単一の事象までの待ち時間を表し、ガンマ分布は複数回の事象までの待ち時間を一般化したものである。
パラメータ $\lambda > 0$ に対して、確率変数 $X$ が指数分布に従うとは、確率密度関数
\[f(x) =\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x} & (x \geq 0) \\0 & (x < 0)\end{cases}\]
を持つことをいう。このとき $X \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$ と書く。
\[F(x) = P(X \leq x) = 1 - e^{-\lambda x}, \quad (x \geq 0)\]
\[\mathbb{E}[X] = \frac{1}{\lambda}, \quad \mathrm{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}\]
指数分布は連続分布の中で唯一の無記憶性を持つ。すなわち、
\[P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)\]
が成立する。
\[M_X(t) = \frac{\lambda}{\lambda - t}, \quad (t < \lambda)\]
形状パラメータ $\alpha > 0$、率パラメータ $\lambda > 0$ に対して、確率変数 $X$ がガンマ分布に従うとは、
\[f(x) =\begin{cases}\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1} e^{-\lambda x} & (x \geq 0) \\0 & (x < 0)\end{cases}\]
を満たすことである。このとき $X \sim \mathrm{Gamma}(\alpha, \lambda)$ と書く。
\[\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{\infty} x^{\alpha - 1} e^{-x} dx\]
で定義され、整数 $\alpha = n$ に対しては $\Gamma(n) = (n-1)!$ となる。
\[\mathbb{E}[X] = \frac{\alpha}{\lambda}, \quad \mathrm{Var}(X) = \frac{\alpha}{\lambda^2}\]
\[M_X(t) = \left( \frac{\lambda}{\lambda - t} \right)^\alpha, \quad (t < \lambda)\]
指数分布はガンマ分布の特別な場合であり、$\alpha = 1$ のとき
\[\mathrm{Gamma}(1,\lambda) = \mathrm{Exp}(\lambda)\]
が成立する。
ポアソン過程において、事象の発生時刻を考えると、
が成立する。
独立なガンマ分布に従う確率変数 $X_1 \sim \mathrm{Gamma}(\alpha_1,\lambda)$,$X_2 \sim \mathrm{Gamma}(\alpha_2,\lambda)$ に対して、
\[X_1 + X_2 \sim \mathrm{Gamma}(\alpha_1 + \alpha_2, \lambda)\]
が成立する。
指数分布およびガンマ分布は、信頼性工学、待ち行列理論、金融数学などにおいて、待ち時間や寿命のモデルとして広く用いられる。
指数分布は単一の事象までの待ち時間を表す基本分布であり、ガンマ分布はそれを複数回の事象まで拡張したものである。両者はポアソン過程と密接に関係し、連続確率分布の中で重要な位置を占める。
Mathematics is the language with which God has written the universe.