正規母集団における区間推定は、標本平均や標本分散の厳密な分布に基づいて構成される。正規性の仮定により、t分布やχ²分布を用いた精密な推定が可能となる。
独立同分布な標本
\[X_1, X_2, \dots, X_n \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\]
を考える。
母分散 $\sigma^2$ が既知の場合、標本平均は
\[\bar{X} \sim \mathcal{N}\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)\]
に従う。
標準化すると、
\[Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1)\]
より、信頼係数 $1-\alpha$ の信頼区間は
\[\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]
となる。
母分散が未知の場合、標本分散 $S^2$ を用いると、
\[T = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)\]
が成立する。
したがって、信頼区間は
\[\bar{X} \pm t_{\alpha/2,\,n-1} \frac{S}{\sqrt{n}}\]
で与えられる。
標本分散に対して、
\[\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)\]
が成立する。
したがって、信頼区間は
\[\left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}},\;\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}}\right)\]
となる。
母平均と母分散の同時推定には、t分布とχ²分布の独立性が重要である。
特に、正規母集団においては
\[\bar{X} \perp S^2\]
が成立する。
母平均の信頼区間の幅は
\[\propto \frac{S}{\sqrt{n}}\]
に比例し、標本サイズが増加するほど区間は狭くなる。
正規母集団における区間推定は、標本平均と標本分散の分布に基づいて構成される。分散既知の場合は正規分布、未知の場合はt分布、分散の推定にはχ²分布が用いられる。これらの理論により、母数の不確実性を厳密に評価することが可能となる。
Mathematics is the language with which God has written the universe.