ネイマン・ピアソンの補題は、単純仮説同士の検定において、与えられた有意水準のもとで最も検出力の高い検定（最強力検定）を特徴付ける基本定理である。仮説検定の最適性理論の出発点となる。
確率密度関数（または確率質量関数） $f(x;\theta)$ に対して、次の単純仮説を考える：
\[H_0 : \theta = \theta_0, \quad H_1 : \theta = \theta_1\]
ここで、$\theta_0 \neq \theta_1$ とする。
観測値 $x$ に対して、尤度比を
\[\Lambda(x) = \frac{f(x;\theta_1)}{f(x;\theta_0)}\]
と定義する。
有意水準 $\alpha$ のもとで、次の形の検定
\[\phi(x) =\begin{cases}1 & (\Lambda(x) > k) \\0 & (\Lambda(x) < k)\end{cases}\]
（必要に応じて $\Lambda(x) = k$ の場合にランダム化を行う）
は、すべての有意水準 $\alpha$ の検定の中で、対立仮説 $H_1$ に対する検出力を最大にする。
この結果は、「尤度比が大きいほど $H_1$ を支持する」という直観を厳密に正当化するものである。すなわち、尤度比に基づく検定が最も効率的であることを示している。
検定は、尤度比に基づく棄却域
\[R = \{ x \mid \Lambda(x) > k \}\]
を用いて定義される。
定数 $k$ は、有意水準条件
\[P_{\theta_0}(X \in R) = \alpha\]
を満たすように選ばれる。
任意の他の検定関数 $\psi(x)$ に対して、検出力の差を評価し、尤度比検定が最大となることを示す。証明には積分不等式と基本的な確率論的手法が用いられる。
ネイマン・ピアソンの補題は単純仮説の場合に適用されるが、複合仮説に対しては尤度比検定（likelihood ratio test）が一般化として用いられる。
ネイマン・ピアソンの補題は、尤度比に基づく検定が最も強力であることを示す基本定理である。仮説検定の理論における最適性の基準を与え、尤度比検定の理論的根拠を提供する。
Mathematics is the language with which God has written the universe.