尤度比検定は、帰無仮説と対立仮説のもとでの尤度の比に基づいて仮説を検定する一般的手法であり、ネイマン・ピアソンの補題を複合仮説へと拡張したものである。多くの統計的検定は、この枠組みで統一的に理解できる。
確率密度関数（または確率質量関数） $f(x;\theta)$ に対して、
\[H_0 : \theta \in \Theta_0, \quad H_1 : \theta \in \Theta \setminus \Theta_0\]
という仮説を考える。
標本 $X_1, \dots, X_n$ に対して、尤度関数を
\[L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i;\theta)\]
とする。
尤度比は
\[\Lambda =\frac{\sup_{\theta \in \Theta_0} L(\theta)}{\sup_{\theta \in \Theta} L(\theta)}\]
で定義される。
すなわち、帰無仮説のもとでの最大尤度と、全体での最大尤度の比である。
通常、次の統計量を用いる：
\[-2 \log \Lambda\]
適切な正則性条件のもとで、
\[-2 \log \Lambda \Rightarrow \chi^2(d)\]
が成立する。ここで $d$ は制約の自由度（パラメータ数の差）である。
有意水準 $\alpha$ に対して、
\[-2 \log \Lambda > \chi^2_{d,\alpha}\]
であれば帰無仮説を棄却する。
$X_i \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$（$\sigma^2$ 既知）として、
\[H_0 : \mu = \mu_0\]
を検定する場合、尤度比検定はz検定と一致する。
尤度比検定は、尤度の最大値の比に基づく一般的な仮説検定手法であり、ウィルクスの定理により漸近的にχ²分布に従う。多くの統計的検定を統一的に扱う枠組みを提供する。
Mathematics is the language with which God has written the universe.