ガンマ関数
【定義】ガンマ関数[Gamma function]
実部が正となる複素数$p$について，次の積分で定義される関数\[\Gamma(z)=\int^{\infty}_{0}x^{p-1}e^{-x}\,dt\qquad(\Re{p}>0)\]をガンマ関数といいます．
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ガンマ関数$\Gamma(p)$の性質
- $\Gamma(p+1)=p\Gamma(p)$ (詳細)
- $\Gamma(1)=1$
- $\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$
- $n$が自然数のとき以下が成り立つ．
\[\begin{eqnarray}\Gamma(\frac{1}{2})=\left\{ \begin{array}{ll}(\frac{n}{2}-1)! & (nが偶数) \\(\frac{n}{2}-1)(\frac{n}{2}-1)\cdots\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{\pi} & (nが3以上の奇数) \\\end{array} \right.\end{eqnarray} \]
ガンマ関数とスターリングの公式
ガンマ関数をより簡単な形をした関数列の級数として近似[漸近近似;asymptotic approximation]するとスターリングの公式となります．
ガンマ関数のグラフ
ガンマ関数をグラフで描くとこうなります．
このグラフは Python で描きました．
from scipy.special import gamma
x=np.arange(0,5,1)
y=gamma(x)
plt.plot(x,y)
Mathematics is the language with which God has written the universe.
