スターリングの公式

【公式】スターリングの公式[Stirling's formula]

\[N! \simeq \sqrt{2 \pi N}(\frac{N}{e})^{N}\]

スターリングの公式は,階乗の拡張の一つであるガンマ関数の漸近近似です.このため,スターリングの近似[Stirling's approximation]とも言われます.また,スターリングの公式は,統計力学や組み合わせ数学の分野で応用されます.

証明を始めます.

まず,対数関数は単調増加関数であることから,\[N \ln N - N \leq \ln N! \leq (N+1)\ln(N+1) - N\]が成り立ちます.

ここで,\[\ln N! \simeq (N+\frac{1}{2})\ln N - N\]という $\ln N!$ の近似値を考えて,この近似値と $\ln N!$ との差を以下のように定義します.\[d_{N} := \ln N! - [(N+\frac{1}{2})\ln N - N]\]$N+1$ のときの $d_{N+1}$ は,\[d_{N+1} := \ln (N+1)! - [(N+1+\frac{1}{2})\ln(N+1) - (N+1)]\]となります.この式をさらに変形すると,\[\begin{eqnarray}d_{N+1} &:=& \ln(N! \cdot (N+1))-[(N+\frac{3}{2})\ln(N+1)-(N+1)]\\&=&\ln(N! \cdot (N+1))-(N+\frac{3}{2})\ln(N+1)+(N+1)\end{eqnarray}\]となります.

$d_{N+1}-d_{N}$ を考えると,\[\begin{eqnarray}d_{N+1}-d_{N}&=&\ln(N! \cdot (N+1))-(N+\frac{3}{2})\ln(N+1)+(N+1)\\&&-\ln N! + (N+\frac{1}{2})\ln N -N\\&=&(1-N-\frac{3}{2})\ln(N+1)+(N+\frac{1}{2})\ln N + (N+1) - N\\&=&-(N+\frac{1}{2})\ln(N+1)+(N+\frac{1}{2})\ln N + 1\\&=&-(N+\frac{1}{2})\ln\frac{N+1}{N}+1\\&=&-(N+\frac{1}{2})\ln(1+\frac{1}{N})+1\end{eqnarray}\]ここで,$\ln(1+x)$のマクローリン展開を考えると,\[\ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{4}+\cdots\]であることから,\[\ln(1+\frac{1}{x})=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}(\frac{1}{x})^{2}+\frac{1}{3}(\frac{1}{x})^{3}-\frac{1}{4}(\frac{1}{x})^{4}+\cdots\]となります.

以上を用いると,\[\begin{eqnarray}d_{N+1}-d_{N}&=&-(N+\frac{1}{2})\ln(1+\frac{1}{N})+1\\&=&-(N+\frac{1}{2})[\frac{1}{N}-\frac{1}{2}(\frac{1}{N})^{2}+\frac{1}{3}(\frac{1}{N})^{3}-\frac{1}{4}(\frac{1}{N})^{4}+\cdots]+1\\&=&-[1+\frac{1}{2}\frac{1}{N}-\frac{1}{2}\frac{1}{N}-\frac{1}{4}(\frac{1}{N})^{2}+\frac{1}{3}(\frac{1}{N})^{2}+O(N^{-3})]+1\\&=&-\frac{1}{12N^{2}}+O(N^{-3})\end{eqnarray}\]すなわち,\[d_{N+1}=d_{N}-\frac{1}{12N^{2}}+O(N^{-3})\]となるので,$d_{N}$ は $N \to +\infty$ である値 $C$ に収束します.

従って,\[C=lim_{N \to +\infty}{\ln N!-[(N+\frac{1}{2})\ln N -N]}\]つまり,\[e^{C}=lim_{N \to +\infty}\frac{N!}{N^{N+\frac{1}{2}}e^{-N}}\]となります.

ここで,\[\begin{eqnarray}(e^{C})^{2}&=&lim_{N \to +\infty}\frac{(N!)^{2}}{N^{N+\frac{1}{2}}e^{-N}}\\\frac{1}{e^{C}}&=&lim_{N \to +\infty}\frac{(2N)^{2N+\frac{1}{2}}e^{-2N}}{(2N)!}\end{eqnarray}\]であるので,この2つの式を掛け合わせると,\[\begin{eqnarray}e^{C}&=&lim_{N \to +\infty}\frac{(N!)^{2}}{N^{2N+2\frac{1}{2}}e^{-2N}} \cdot \frac{(2N)^{2N+\frac{1}{2}}e^{-2N}}{(2N)!}\\&=&\frac{(N!)^{2}(2N)^{2N+\frac{1}{2}}}{N^{2N+1}(2N)!}\\&=&\frac{(N!)^{2}2^{2N+\frac{1}{2}}N^{2N+\frac{1}{2}}}{N^{2N+1}(2N)!}\\&=&\frac{(N!)^{2}2^{2N+1}}{\sqrt{N}(2N)!}\\&=&\frac{2^{2N}\sqrt{2}(N!)}{\sqrt{N}(2N)!}\\&=&\frac{2^{2N}\sqrt{2}}{\sqrt{N}\frac{(2N)!}{N!N!}}\\&=&\sqrt{2}lim_{N \to +\infty}\frac{2^{2N}}{\sqrt{N}_{2N}C_{N}}\end{eqnarray}\]ここで,\[_{N}C_{r}=\frac{N!}{r!(N-r)!}\]という二項係数です.

さらに,ウォリスの公式から,\[\sqrt{\pi}=lim_{N \to \infty}\frac{2^{2N}}{\sqrt{N}_{2N}C_{N}}\]となるので,結局,\[lim_{N \to \infty}\frac{N!}{\sqrt{N}N^{N}e^{-N}}=\sqrt{2\pi}\]すなわち,\[N! \simeq \sqrt{2 \pi N}(\frac{N}{e})^{N}\]となります.□

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