部分積分

【定理 部分積分 partial integral】
\[\int_{a}^{b}f(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}f'(x)g(x)dx\]【証明】
積の微分法の公式から\[{f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\]$a$から$b$まで積分して\[\int_{a}^{b}{f(x)g(x)}'dx=\int_{a}^{b}{f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}dx\]よって,\[[f(x)g(x)]_{a}^{b}=\int_{a}^{b}{f'(x)g(x)}dx+\int_{a}^{b}{f(x)g'(x)}dx\]第1項を左辺に移項すると,\[\int_{a}^{b}f(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}f'(x)g(x)dx\]

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確率測度の拡張 原始関数 不定積分 定積分 選好順序の公理 選好関係