選好関係

定理 (選好関係の定理)
$\succ$ を集合上の弱順序とすると以下が成り立つ．

の元に対して， $x \succ x' , x \sim x' , x' \succ x$ のいづれか１つだけが必ず成立する．
$\succ$ は推移性を持つ．すなわち， $x \succ x'$ かつ $x' \succ x''$ ならば， $x \succ x''$ が成り立つ．
は同値関係である．すなわち，
- (反射性)： $x \sim x'$
- (対称性)： $x \sim x' \Longleftrightarrow x' \sim x$
- (推移性)： $x \sim x'$ かつ $x' \sim x''$ ならば $x \sim x''$
$x \succ x'$ かつ $x' \sim x''$ ならば $x \succ x''$ であり， $x \sim x'$ かつ $x' \succ x''$ ならば $x \succ x''$ である．
は以下の性質を満たす．
- (推移性)： $x \succeq x'$ かつ $x' \succeq x''$ ならば $x \succeq x''$
- (連結性)：の任意の元に対して， $x \succeq x'$ あるいは $x' \succeq x$ である．
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