順序集合[ordered set,poset]

全順序集合[totally ordered set]

集合 $A$ 上の(半)順序(関係) (partial order) とは,

が成立するような関係$\leq$のことを全順序集合(totally ordered set)といいます.

半順序集合(poset)

完全律のみが成り立たない場合は半順序集合[partially ordered set]といいます.

半順序集合は,partially ordered set を略して,poset とも言われます.

$a,b$ を正の整数としたとき, $\leq$ を $b$ が $a$ の倍数 $\Leftrightarrow$ $a \leq b$ と定義した場合は,2は3の倍数でもないこと,また,3は2の倍数でもなく,比較不可能ということになり全順序ではなく半順序になります.

順序型

順序集合 $M,N$ の各元の間に,前後の順序を保ったまま,1対1の対応が付けられるとき,順序集合 $M,N$ は同じ順序型を持つといい,$M,N$ は順序同型であるといいます.

整列(well-ordered)

順序集合 $M=(M,<)$ が,任意の空ではない $A \subset M$ が最小元を持つことを,整列(well-ordered)といいます.

これは,$M$ が全順序集合であり,無限下降列を持たないことと同値です.

Vita brevis, ars longa. Omnia vincit Amor.





















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