部分群(subgroup)

$G$ の空ではない部分集合 $H$ が $G$ の二項演算によってになるとき,この部分集合 $H$ を $G$ の部分群(subgroup)といいます.

群 $G$ の部分集合 $H$ が部分群となるための必要十分条件は,\[for\,\,\forall a,b \in H ,ab^{-1} \in H\]であることになります.

$H$ が $G$ の部分群であれば,\[for\,\,\forall a,b \in H,ab^{-1} \in H\]となるのは当然ですが,\[for\,\,\forall a \in H, aa^{-1}=1 \in H\]となり単位元が存在することが分かります.

また,\[for\,\,1,\forall a \in H,1a^{-1}=a^{-1} \in H\]となり,任意の元に逆元が存在します.

さらに,\[for\,\,a,b \in H,b^{-1} \in H, a(b^{-1})^{-1}=ab \in H\]となりの公理を満たすということが分かります.

つまり,群 $G$ の部分集合 $H$ が部分群となるための必要十分条件は,\[for\,\,\forall a,b \in H ,ab^{-1} \in H\]であることになります.

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