剰余の定理（Remainder theorem）

$x$ についての整式を $P(x),Q(x)$ と表すことにします．

ここで，整式 $P(x)$ に $x=\alpha$ を代入したときの整式の値を $P(\alpha)$ とします．

さらに，整式 $P(x)$ を $x-\alpha$ で割ったときの商を $Q(x)$ ，余りを $R$ とします．

すると，\[P(x) = (x-\alpha) \times Q(x) + R\]という関係が成り立ちます．

この式の両辺に，$x=\alpha$ を代入すると，\[P(\alpha)=(x-\alpha) \times Q(\alpha)+R\]となるので，\[P(\alpha)=(\alpha-\alpha) \times Q(\alpha) + R\]から，\[P(\alpha)=0 \times Q(\alpha)+R=R\]となります．

このように，$P(x)$ を1次式 $x-\alpha$ で割ったときの余りは $P(\alpha)$ となるという性質は剰余の定理といいます．

Mathematics is the language with which God has written the universe.