正規線形回帰モデル

古典的正規線形回帰モデル

$Y_{t},X_{jt}$ をそれぞれ $t$期の被説明変数（explained variable），$t$期の説明変数（explanatory variable）$j$ とします．

$t=1,2,\cdots,n$ の $n$期を考えると，\[\begin{array} \ Y_{1}&=\beta_{1}+\beta_{2}X_{21}+\cdots+\beta_{k}X_{k1}+u_{1}\\Y_{2}&=\beta_{1}+\beta_{2}X_{22}+\cdots+\beta_{k}X_{k1}+u_{2}\\ \vdots &= \vdots\\Y_{n}&=\beta_{1}+\beta_{2}X_{2n}+\cdots+\beta_{k}X_{kn}+u_{n}\end{array}\]となります．

ここで，\[y=\left(\begin{array}{c}Y_{1}\\Y_{2}\\ \vdots\\Y_{n}\end{array}\right)\]\[X=\left(\begin{array}{cccc}1&X_{21}&\cdots&X_{k1}\\1&X_{22}&\cdots&X_{k2}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\1&X_{2n}&\cdots&X_{kn}\end{array}\right)\]\[\beta=\left(\begin{array}{c}\beta_{1}\\\beta_{2}\\ \vdots\\\beta_{n}\end{array}\right)\]\[u=\left(\begin{array}{c}u_{1}\\u_{2}\\ \vdots\\u_{n}\end{array}\right)\]とおくと，\[y=X\beta+u\]と表すことができます．

古典的正規線形回帰モデルの仮定

1. $E(u)=0$
2. $E(uu')=\sigma^{2} I$
   但し，$I$ は $n \times n$ の単位行列
3. $u_{t}$ は正規分布に従うこと
4. $rank(X)=k < n$
5. $lim_{n\rightarrow\infty}\frac{X'X}{n}=Q\neq0$ であり，$Q$ は非特異行列であること．

Mathematics is the language with which God has written the universe.