ベルヌーイ分布

全ての分布の基本中の基本,分布の根源とも言えるのがベルヌーイ分布(Bernoulli distribution)

独立した試行の確率

独立した試行 $T_{1},T_{2}$ があって,試行 $T_{1}$ に対応する事象 $A_{1}$,試行 $T_{2}$ に対応する事象 $A_{2}$ とするとき,試行 $T_{1}$ で事象 $A_{1}$ が起こる確率を $P(A_{1})$,試行 $T_{2}$ で事象 $A_{2}$ が起こる確率を $P(A_{2})$ とすると,試行 $T_{1}$ で事象 $A_{1}$ が起こり,かつ,試行 $T_{2}$ で事象 $A_{2}$ が起こる確率は,\[P(A_{1}) \times P(A_{2})\]となります.

このように,2つ以上の試行の結果が互いに他に全く影響を与えない場合,それらの試行を独立な試行といいます.

反復試行の確率

互いに独立な試行を $n$ 回繰り返す場合,事象 $A$ が $k$ 回($k=0,1,2,\cdots,n$)起こる確率を反復試行の確率といいます.

1回の試行において事象 $A$ が起こる確率を $p$ とします.このとき,事象 $A$ の起こらない確率を $q$ とすると,$p+q=1$ より,$q=1-p$ となります.

この試行を $n$ 回行って,そのうち $k$ 回だけ事象 $A$ が起こる確率は,\[_{n}C_{k}p^{k}q^{n-k},k=0,1,2,\cdots,n\]となります.

ベルヌーイ分布

\[X=0,1,2,\cdots,n\]を離散型確率変数であるとします.

このとき,確率関数 $P_{k}$ が,\[P_{k}=P(X=k)=_{n}C_{k}p^{k}q^{n-k},(k=0,1,2,\cdots,n),0 < p < 1,p+q=1\]と表される確率分布をベルヌーイ分布(Bernoulli distribution)もしくは二項分布といいます.

なお,$_{n}C_{k}$ は二項係数と言われ $n$ 個から $k$ 個を選ぶ組合せの数,すなわち,\[_{n}C_{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\]を表しています.

Vita brevis, ars longa. Omnia vincit Amor.





















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