ラドン・ニコディムの定理

ラドン・ニコディムの定理 Radon-Nikodym theorem

ラドン・ニコディムの定理は,ある確率測度を別の確率測度へと拡張する際に重要な役割を果たします.

この定理は1913年に特別な場合に関してオーストリアのヨハン・ラドン[Johann Karl August Radon;16 December 1887/12/16–1956/5/25]が証明.1930年に一般の場合について,ポーランドのオットー・ニコディム[Otto Marcin Nikodym;1887/8/3-1974/5/4]が証明をしました.さらに,オランダのハンス・フロイデンタール[Hans freudenthal;1905/9/17-1990/10/13]がラドン・ニコディム定理を特別な場合として含む,リース空間での一結果であるフロイデンタールのスペクトル定理を証明しました.

ラドン・ニコディムの定理[Radon-Nikodym theorem]

可測空間(measurable space) $(\Omega,\mathcal{B})$ 上に $P,Q$ という2つの確率測度(probability measure)が定義されていて,確率測度 $P$ は確率測度 $Q$ よりも非常に大きいとします.

つまり,\[Q \ll P\]であるとします.

このとき,確率空間 $(\Omega,\mathcal{B},P)$ 上の非負平均可能な確率変数で,\[Q(B)=\int_{B}f(x)P(dx) \]となるものが一意に存在し,ほとんどいたるところで一意となります.

ラドン・ニコディムの定理によれば,$f$ とは別の非負実数値可測関数 $\tilde{f}$ が上の式を満たす場合は,\[f = \tilde{f},a.e. \]となる.

$a.e.$ というのは "almost everywhere" の意味.

ラドン・ニコディム微分

上記のラドン・ニコディムの定理における $f$ を $Q$ の $P$ に関するラドン・ニコディム微分と言って,\[\frac{dQ}{dP}\]と表します.

Vita brevis, ars longa. Omnia vincit Amor.





















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