位相空間

距離の概念を抽象化したものが位相になります.

つまり,遠い近いを測る距離があれば,開集合の概念を導入することで,収束や連続について詳細に考えることが出来ます.極限や連続の概念は開集合できるのです.

この抽象化を,さらに進めると,開集合の族が定義された,位相空間という集合を考えるということに行きつきます.

冪集合[power set]

与えられた集合から,その部分集合の全体として新たに作り出される集合のことを冪集合[power set]といいます.\[\mathcal{P}(X):=\{A|A \subseteq X\}\]

位相空間[topological space]

集合 $X$ の冪集合[power set]の部分集合を開集合 $\mathcal{U}$ とします.このとき,
  1. $\emptyset,X \in \mathcal{U}$
  2. $\forall U_{1},U_{2} \in \mathcal{U} \to U_{1} \cap U_{2} \in \mathcal{U}$
  3. $\forall\{U_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda} \subset \mathcal{U} \to \cup_{\lambda \in \Lambda}U_{\lambda} \in \mathcal{U}$
を満たす $\mathcal{U}$ を位相[topology]といい,$(X, $\mathcal{U}$)$ を位相空間[topological space]といいます.
また,$X$ をこの空間の土台の集合といいます.

位相空間は距離空間を抽象化したものです.

従って,距離空間の開集合は上記の条件を満たしています.そして,当然ながら,距離空間は位相空間となります.

Vita brevis, ars longa. Omnia vincit Amor.





















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