ベルヌーイ分布とポアソン分布

ベルヌーイ分布[Bernoulli distribution]

確率関数\[P_{B}(x):=_{n}C_{x}p^{x}q^{n-x}\]をベルヌーイ分布[Bernoulli distribution]といい,\[B(n,p)\]と表します.

ベルヌーイ分布[Bernoulli distribution]はヤコブ・ベルヌーイ[Jakob Bernoulli,1654年12月27日-1705年8月16日]に因んで名づけられました.

ベルヌーイ分布[Bernoulli distribution]は指数分布族です.

このベルヌーイ分布[Bernoulli distribution]において,\[n \to \infty, p \to 0\]とすると,ポアソン分布[Poisson distribution]になることが知られています.

ここで,ベルヌーイ分布[Bernoulli distribution]の期待値 $\mu$ が,\[\mu=np\]となり,\[p=\frac{\mu}{n}\]となることから,

\[\begin{eqnarray}P_{B}(x)&=&_{n}C_{x}p^{x}q^{n-x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}p^{x}(1-q)^{n-x}\\&=&\frac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-x+1)}{x!}(\frac{\mu}{n})^{x}(1-\frac{\mu}{n})^{n-x}\\&=&\frac{n^{x}1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n}) \cdots (1-\frac{x-1}{n})}{x!}\frac{\mu^{x}}{n^{x}}(1-\frac{\mu}{n})^{n}(1-\frac{\mu}{n})^{-x}\end{eqnarray}\]ここで,\[n \to \infty\]となると,\[\frac{1}{n},\frac{2}{n},\cdots,\frac{x-1}{n}\]などは $0$ になります.

また,\[-\frac{n}{\mu}=\theta\]とおくと,$n \to \infty$ のとき,$\theta \to -\infty$ となり,\[lim_{\theta \to \pm \infty}(1+\frac{1}{\theta})^{\theta}=e\]となることから,\[\begin{eqnarray}(1-\frac{\mu}{n})^{n}&=&((1+\frac{1}{-\frac{n}{\mu}})^{-\frac{n}{\mu}})^{-\mu}\\&=&((1+\frac{1}{\theta})^{\theta})^{-\mu}\\&=&e^{-\mu}\end{eqnarray}\]以上から,\[lim_{n \to \infty}P_{B}(x)=e^{-\mu}\frac{\mu^{x}}{x!}\]となり,ベルヌーイ分布[Bernoulli distribution]からポアソン分布[Poisson distribution]が導かれます.

ポアソン分布[Poisson distribution]

確率関数\[P_{O}(x):=e^{-\mu}\frac{\mu^{x}}{x!}\]をポアソン分布[Poisson distribution]といい,\[P_{o}(\mu)\]と表します.

Vita brevis, ars longa. Omnia vincit Amor.





















濃度 位相空間 対合 ドイツ文字 二項定理 組合せの公式