バナッハ空間

ノルム付けられた線型空間で,そのノルムが定める距離構造が完備である空間,すなわち,完備なノルム空間のことをバナッハ空間[Banach space]といいます.

バナッハ空間[Banach space]

ノルム空間$V$ 内の各コーシー列 \[\{V_{n}\}^{\infty}_{n=1}\]に対して,ノルム空間$V$ の適当な$v$ を選べば,\[\lim_{n \to \infty}v_{n}=v\]となるとき,このノルム空間$V$ をバナッハ空間[Banach space]といいます.

$n$次元ユークリッド空間$\mathbb{R}^{n}$は以下で定義されるノルムに関して,バナッハ空間[Banach space]となります.

$x=(x_{1},\cdots,x_{n}) \in \mathbb{R}^{n}$に対して,\[\|x\|=\sqrt{|x_{1}|^{2}+ \cdots +|x_{n}|^{2}}\]

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