結合代数と可換代数

集合 $A$ と演算 $\circ$ を一緒に考慮した \[(A;\circ)\] が以下の性質を満たすときに群といいます.
  • 加法について閉じていること
  • 加法について結合法則が成り立つこと.
  • 加法について単位元があること.
  • 加法について逆元であること.

なお,集合 $A$ と演算 $\circ$ を一緒に考慮した $(A;\circ)$ は代数系と言われます.

また,群の演算のように,群の元だけで閉じている場合,これを群という集合の内部で定義できる演算という意味で,内部算法といいます.

アーベル群[abelian group]

が加法について可換であうときアーベル群といいます.

アーベル群が以下の性質も持つとき環といいます.
  • 乗法について閉じていること.
  • 乗法について結合法則が成り立つこと.
  • 乗法と加法の間で分配法則が成り立つこと.

可換環

が乗法について可換であるとき可換環といいます.

整域

可換環が以下の性質を満たすとき整域といいます.
  • 乗法について単位元があること.
  • 乗法について $0$ が唯一の零因子であること.

整域が乗法についての逆元を持つときといいます.

多項式の係数 $a_{i}$ を含む体を係数体といいます.

結合代数[associative algebra]

係数体 $\mathcal{R}=(\mathbb{C},\mathbb{R})$ 上の線形空間 $V$ の任意の元 $x,y$ について以下の性質を満たす演算 $x*y\in V$ が定義されているものを $\mathcal{R}$ 上の結合代数[associative algebra]といいます.
  • $x*y$ が $V \times V \to V$ という $\mathcal{R}$-双線形写像[bilinear map]となること.
  • 結合律が成立すること.

ここで,$\mathcal{R}$-双線形写像[biinear map]というのは,\[x*(y+z)=x*y+x*z\]\[(x+y)*z=x*z+y*z\]\[(\lambda x)*b=x*(\lambda y)=\lambda(x*y)\]が成り立つことを意味します.

可換代数[commutative algebra]

結合代数が,\[x*y=y*x\]を満たすとき,可換代数[commutative algebra]といいます.
満たさない場合は非可換代数[non-commutative algebra]といいます.

Vita brevis, ars longa. Omnia vincit Amor.





















C*環 ヒルベルト空間 ミクロの世界の論理 波動関数 ワイル代数 アルキメデスの公理