イェンセンの不等式

イェンセンの不等式 Jensen's inequality

$x$ の取りうる値全体からなる集合を $D$ とする.このとき,$D$上で定義された実数値関数$f(x)$の2次導関数$f''(x)$が非負実数値関数であり,非負実数値関数$g(x)$が,\[\int_{D}g(x)dx=1 \]を満たすとする.
このとき,\[\int_{D}f(x)g(x) \geq f(\int_{D}xg(x)dx) \]が成り立つ.

このイエンセンの不等式から相加・相乗平均の不等式が導かれる.

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